Çalışma Sorularının Çözümleri

${\displaystyle \frac{20}{100}\cdot x=10}$

${\displaystyle \Rightarrow x=50\text{(Yüzde 20'si 10 eden kârın tamamı 50 eder)}}$

${\displaystyle \text{Maaş}x\text{olsun. Karşılığı}p\cdot q\text{mal olsun.}}$

${\displaystyle \text{Fiyat yüzde 20 yükselmiştir:}}$

${\displaystyle \frac{120}{100}p\cdot \frac{100}{120}q=x}$

${\displaystyle x\%8\text{arttırılırsa}\frac{120}{100}p\cdot \frac{100}{120}\cdot r\cdot q=\frac{108}{100}x}$

${\displaystyle xr=\frac{108}{100}x}$

${\displaystyle r=\frac{108}{100}}$

${\displaystyle r\text{'yi yerine koyup bu maaşla alınabilecek}}$

${\displaystyle \text{malı tekrar hesaplayalım}}$

${\displaystyle \frac{100}{120}\cdot \frac{108}{100}q=\frac{108}{120}q}$

${\displaystyle =\frac{90}{100}q}$

${\displaystyle \text{Kayıp \%10'dur}}$

${\displaystyle \text{B malının alış fiyatına}x\text{diyelim}}$

${\displaystyle \frac{\text{satış fiyatı}-\text{alış fiyatı}}{\text{alış fiyatı}}=\frac{2x\cdot \frac{140}{100}+x\cdot \frac{80}{100}-3x}{3}x}$

${\displaystyle =\frac{\frac{360}{100}x-3x\frac{100}{100}}{3}x}$

${\displaystyle =\frac{20}{100}}$

${\displaystyle \text{Sonuç pozitif çıktığı için \%20 kar etmiştir}}$

${\displaystyle \text{Kilogramı}y\text{liradan}x\text{kilogram sebze}}$

${\displaystyle \text{alındı diyelim. Ödeme:}}$

${\displaystyle xy=k\text{olur}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{3}{5}x\frac{5}{3}y=k}$

${\displaystyle \text{Sebze miktarı}\frac{3}{5}x\text{kilograma düşerse}}$

${\displaystyle \text{maliyet}\frac{5}{3}y\text{olur}}$

${\displaystyle \text{Maliyet}\frac{2}{3}\text{oranında düşmüştür}}$

${\displaystyle \text{Uzaklaşma hızı (bağıl hız):}36-20=16m/dk}$

${\displaystyle 34\times 16=544\text{(34 dakikada 544m uzaklaşır)}}$

${\displaystyle \text{Birinci ve ikinci karşılaşma arası 320 metredir:}}$

${\displaystyle 544-320=224}$

${\displaystyle \frac{224}{320}=\frac{360-\alpha }{360}}$

${\displaystyle \alpha =108}$

${\displaystyle \text{Derya'nın hızı}x\text{akıntının hızı}y\text{olsun.}}$

${\displaystyle (x+y)9=360}$

${\displaystyle (x-y)12=360\text{sistemini çözersek}}$

${\displaystyle y=5}$

${\displaystyle 180\text{km/sa}\cdot 40sn=1800\text{m}-x\text{m}}$

${\displaystyle 180\cdot \frac{1000}{3600}\text{m/sn}\cdot 40\text{sn}=1800\text{m}-x\text{m}}$

${\displaystyle x=200}$

${\displaystyle \text{Mumların erime hızları sırasıyla}\frac{2}{3}k/saat\text{ve}}$

${\displaystyle \frac{3}{2}k/saat\text{tir.}}$

${\displaystyle \frac{2k-\frac{2}{3}kt}{3k-\frac{3}{2}kt}=\frac{4}{3}}$

${\displaystyle \frac{2-\frac{2}{3}t}{3-\frac{3}{2}t}=\frac{4}{3}}$

${\displaystyle 6-2t=12-6t}$

${\displaystyle t=\frac{6}{4}\text{saat}}$

${\displaystyle t=90\text{dakika}}$

${\displaystyle \text{Üçgenin bir kenarının uzunluğuna}a\text{diyelim.}}$

${\displaystyle \text{Uzunluğu}\frac{\sqrt{3}}{2}a\text{olan}AE\text{yüksekliği, kenarı ikiye böler}}$

${\displaystyle F\text{noktasından yükseklik indirilirse, benzerlikten dolayı:}}$

${\displaystyle \left|FH\right|=\frac{\sqrt{3}}{4}a\text{ve}\left|EH\right|=\frac{a}{4}}$

${\displaystyle \tan x=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}a}{\frac{a+2a+2\sqrt{3}a}{4}}}$

${\displaystyle =2-\sqrt{3}}$

${\displaystyle 2-\sqrt{3}\text{15 derecenin tanjantıdır.}}$

${\displaystyle \text{Üçgenin bir kenarı}a\text{olsun.}}$

${\displaystyle \text{30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır}}$

${\displaystyle \left|BD\right|=\frac{\left|DF\right|}{2}}$

${\displaystyle =\frac{3}{2}}$

${\displaystyle a=x+\frac{3}{2}}$

${\displaystyle \left|AF\right|=x+\frac{3}{2}-3}$

${\displaystyle =x-\frac{3}{2}}$

${\displaystyle \left|AE\right|=x+\frac{3}{2}-1}$

${\displaystyle =x+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \text{Tekrar 30 derecenin karşısı hipotenüsün yarısıdır:}}$

${\displaystyle 2(x-\frac{3}{2})=x+\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow x=\frac{7}{2}}$

${\displaystyle {\left|AK\right|}^2+1-2\left|AK\right|\cos 60=13\text{(kosinüs teoremi)}}$

${\displaystyle {\left|AK\right|}^2-\left|AK\right|-12=0}$

${\displaystyle \left|AK\right|=4}$

${\displaystyle \left|AB\right|=4+1}$

${\displaystyle =5}$

${\displaystyle \left|AD\right|=x\text{diyelim.}}$

${\displaystyle \left|AB\right|=\left|BC\right|=\left|AC\right|=4x}$

${\displaystyle 16x^2+x^2-2\cdot 4x^2\cos 60=13\text{(kosinüs teoremi)}}$

${\displaystyle 13x^2=13}$

${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 4x=4}$

${\displaystyle AD\text{,}BC\text{'yi}E\text{noktasında kessin.}m\left(BCD\right)=\alpha \text{olsun}}$

${\displaystyle m\left(AEC\right)=m\left(ABC\right)+m\left(BAD\right)}$

${\displaystyle =2\alpha +60}$

${\displaystyle m\left(ADC\right)=2\alpha +60-\alpha }$

${\displaystyle =\alpha +60}$

${\displaystyle m\left(ACD\right)=\alpha +60}$

${\displaystyle \left|AD\right|=\left|AC\right|}$

${\displaystyle =\frac{24}{3}}$

${\displaystyle =8}$

${\displaystyle DBG\text{eşkenar üçgenini oluşturalım:}}$

${\displaystyle DB=y,\Rightarrow DG=BG=DB=y}$

${\displaystyle \angle DEG=w,\Rightarrow \angle FEC=w}$

${\displaystyle \angle EGD=180-60={120}^{\circ }}$

${\displaystyle \angle ECF=180-60={120}^{\circ }}$

${\displaystyle \angle EGD=\angle ECF,\angle DEG=\angle FEC,\text{and}CF=DG}$

${\displaystyle \Delta EGD=\Delta ECF}$

${\displaystyle \Rightarrow EG=EC=6}$

${\displaystyle \Rightarrow AB=BC}$

${\displaystyle \Rightarrow AD+DB=BG+GE+EC}$

${\displaystyle \Rightarrow x+y=y+6+6}$

${\displaystyle \Rightarrow x=12 }$

İkinci yol:

${\displaystyle \Rightarrow DH=AD=x}$

${\displaystyle \Rightarrow HC=DB=y}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{DH}{HF}=\frac{EC}{CF}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{x}{2y}=\frac{6}{y}}$

${\displaystyle \Rightarrow x=12}$

${\displaystyle \text{Kosinüs teoreminden}\left|BE\right|=2\sqrt{21}}$

${\displaystyle 4=100+84-2\cdot 10\cdot 2\sqrt{21}\cos \alpha }$

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{3\sqrt{21}}{14}\Rightarrow \cos 2\alpha =\frac{13}{14}\Rightarrow \sin 2\alpha =3\frac{\sqrt{3}}{14}}$

${\displaystyle \Rightarrow \cos (2\alpha +60)=\frac{1}{7}}$

BE uzunluğunu kosinüs teoremi ile hesaplayalım
${\displaystyle {\left|BD\right|}^2+{\left|ED\right|}^2-2\left|BD\right|\left|ED\right|\cos 2\alpha }$

${\displaystyle \left|BD\right|=\left|ED\right|\text{olduğundan}}$

${\displaystyle \left|BD\right|=7}$

${\displaystyle x^2=64+49-2\cdot 56\cos 2\alpha }$

${\displaystyle x=3}$

${\displaystyle \text{Eşkenar üçgende kenarortay aynı zamanda yüksekliktir}}$

${\displaystyle \text{ve bir kenarın}\frac{\sqrt{3}}{2}\text{katıdır}}$

${\displaystyle \left|AD\right|=6\sqrt{3}}$

${\displaystyle m\left(ADF\right)=90-m\left(FDC\right)}$

${\displaystyle =15}$

${\displaystyle m\left(FAD\right)=m\left(DAC\right)+m\left(CAF\right)}$

${\displaystyle =30+(180-m\left(BAC\right))}$

${\displaystyle =120}$

${\displaystyle m\left(AFD\right)=180-m\left(DAF\right)}$

${\displaystyle =15\text{(DAF ikizkenardır!)}}$

${\displaystyle x=\left|AD\right|}$

${\displaystyle =6\sqrt{3}}$

${\displaystyle x^2=36+16-48\cos 120\text{(kosinüs teoremi)}}$

${\displaystyle =52+24}$

${\displaystyle =76}$

${\displaystyle \Rightarrow x=\sqrt{76}}$