(62) Regüler Girdili 2×2 Matrisler Halkasının Von Neumann Regüler Halka Koşulunu Sağlaması Üzerine

(Eğer $R$ bir bölme halkası ise, o zaman $M_2(R)$'nin bir regüler halka olduğunun bir ispatı)


Tanım: $R$, bir halka olsun. Eğer $R$ halkasının her elemanı düzenli ise, $R$ halkasına düzenli halka veya regüler halka denir.

Önerme: Eğer $R$ bir bölme halkası ise, o zaman $M_2(R)$ bir regüler halkadır.

İspat: $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in M_2(R)$$ olsun.

BİRİNCİ DURUM

$$a=b=c=d=0_R$$ olsun. O zaman, $$\begin{array}{rl}A{\odot }_{R}A{\odot }_{R}A& =A^3\\ & =A\end{array}$$ olduğundan, $X=A\in M_2(R)$ için $AXA=A$ koşulu sağlanır.

İKİNCİ DURUM

$$A\ne \left(\begin{array}{cc}{0}_R& 0_R\\ 0_R& 0_R\end{array}\right)\text{ ve }ad-bc\ne 0_R$$ olsun. $R$ bölme halkası olduğundan, $$\begin{array}{rl}A{A}^{-1}A& =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_R\\ 0_R& 1_R\end{array}\right)A\\ & =IA\\ & =A\end{array}$$ dir. Dolayısıyla, $X=A^{-1}{M}_2(R)$ için, $AXA=A$ koşulu sağlanır.

ÜÇÜNCÜ DURUM

$$A\ne \left(\begin{array}{cc}{0}_R& 0_R\\ 0_R& 0_R\end{array}\right)\text{ ve }ad-bc=0_R$$ olsun. $p,q,r,s\in R-0_R$ olmak üzere, $$q= \frac{pb}{q} \textrm{ ve } as \neq br $$ olacak biçimde, $$B:=\left(\begin{array}{cc}{1}_R& p\\ c/a& q\end{array}\right),C:=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ r& s\end{array}\right),D:=\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_R\\ 0_R& 0_R\end{array}\right)$$ matrislerini tanımlayalım. Bu durumda, $$\begin{array}{rl}BDC& =\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_R\\ c/a& 0_R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ r& s\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& (bc)/a\end{array}\right)\end{array}$$ $ad=bc$ olduğundan, $$\begin{array}{rl}BDC& =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\\ & =A\text{(*)}\end{array}$$ dir. Diğer taraftan, $$\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_R\\ 0_R& 0_R\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_R\\ 0_R& 0_R\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{1}_R& 0_R\\ 0_R& 0_R\end{array}\right)$$ olduğundan, $D$ idempotent elemandır. Dolayısıyla, (*)'den, \begin{align} AC^{-1}B^{-1}A &= BDCC^{-1}B^{-1}BDC \nonumber \\ &= BDDC\nonumber \\ &= BDC \nonumber \\ &= A \end{align} olduğundan, $C^{-1}{B}^{-1}=X\in M_2(R)$ için, $$AXA=A$$ koşulu sağlanır. Dolayısıyla her $A\in M_2(R)$ bir regüler elemandır. Regüler halka tanımı gereği, $(M_2(R),{\oplus }_R,{\odot }_R)$ sistemi, bir regüler halkadır.

Sonuç: Eğer $R$ bir bölme halkası ise, "${\oplus }_R$" matris toplaması ve "${\odot }_R$" matris çarpması olmak üzere, $(M_2(R),{\odot }_R,{\oplus }_R)$ sisteminin bir regüler halka olduğu durum analizi ile ispatlanmıştır.

TEŞEKKÜR

Değerli tavsiyelerinden dolayı Dr. Öğr. Üyesi Sevan Bedikyan'a teşekkür ederim.


İndir