(Foundations of ODEs and PDEs: An Axiomatic Approach)
0. ÖN BİLGİLER
0.1. ÇOK-İNDİS
Çok-indis notasyonu, çok değişkenli türevler ve üs ifadeleri için standart ve kompakt bir gösterim sağlar.
Tanım. Çok-indis, her \(\alpha_i \in \mathbb{N}_0\) olmak üzere,
\[\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\mathbb{N}_0^n\]
vektörü ile tanımlanır.
Örnek 0.1. \(x_1^2x_2^3\) çarpımı,
\[x^{(2,3)}\]
veya
\[x^\alpha,\quad \alpha=(2,3)\]
ile gösterilir. Bu başlık altındaki çalışmalarda ikinci gösterim tercih edilecektir.
Tanım. Bir çok-indisin mertebesi,
\[\sum_{i=1}^n \alpha_i\]
ile tanımlanır ve,
\[|\alpha|\]
ile gösterilir.
Örnek 0.2. \(x=(x_1,x_2)\) için,
\[\frac{\partial^3u(x_1,x_2)}{\partial x_1^2 \partial x_2}\]
kısmi türevi kısaca,
\[\partial^\alpha u(x), \quad \alpha=(2,1)\]
ile gösterilir.
Örnek 0.3. \(x=(x_1,\dots, x_n)\) için,
\[\frac{\partial^{|\alpha|}u(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots \partial x_n^{\alpha_n}},\quad \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\]
kısmi türevi kısaca,
\[\partial^\alpha u(x),\quad \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\]
ile gösterilir.
Tanım. \(u(x_1,\dots,x_n)\) yeterince türevlenebilir olsun. Çok-indis türev operatörü,
\[\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots \partial x_n^{\alpha_n}}\]
ile tanımlanır ve,
\[(\partial^\alpha u)x\]
ile gösterilir.
0.2. ÇOK DEĞİŞKENLİ MONOMUN TÜREVİ
Önerme 0.1. \( m, k \in \mathbb{N}_0 \text{ için,} \)
\[ \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}(x^m) = \begin{cases} \frac{m!}{(m-k)!}x^{m-k}, & \text{ eğer } k \le m \text{ ise }\\ 0, & \text{ eğer } k > m \text{ ise }\end{cases} \]
İspat. Bkz. Problem 0.5'in çözümü
Sonuç 0.1. Eğer tek değişkenli monomun türev sırası üs değerinden küçük ise o zaman sonuç bir polinom olur.
İspat. Bkz. Önerme 0.1
Sonuç 0.2. Eğer tek değişkenli monomun türev sırası üs değerine eşit ise ise o zaman sonuç bir sabit sayı olur.
İspat. Bkz. Önerme 0.1
Tanım.
Önerme 0.2.Eğer tek değişkenli monomun türev sırası üs değerinden büyük ise o zaman sonuç sıfır olur.
İspat. Bkz. Önerme 0.1
Lemma 0.1. \(n\in \mathbb{N},x=(x_1,\dots,x_n)\) ve \(\alpha,\beta \in \mathbb{N}_0^n\) olsun. \[
x^\beta := \prod_{i=1}^n x_i^{\beta_i}, \quad
\partial^\alpha := \prod_{i=1}^n \partial_i^{\alpha_i}, \quad
\partial_i := \frac{\partial}{\partial x_i}
\]
olsun. O zaman,
\[
\partial^\alpha(x^\beta) =
\begin{cases}
\left( \prod_{i=1}^n \frac{\beta_i!}{(\beta_i - \alpha_i)!} \right) x^{\beta - \alpha}, & \text{ eğer }\alpha \leq \beta \text{ ise }\\
0, & \text{ eğer }\alpha \nleq \beta \text{ ise }
\end{cases}
\]
İspat. Bkz. Problem 0.5'in çözümü
Sonuç 0.4. \(u\) bir polinom ve \(\alpha\) bir çok-indis olsun. Eğer \(|\alpha|\), \(u\) polinomunun derecesinden büyük ise o zaman \(\partial^\alpha u≡0\) olur.
İspat. Bkz. Problem 0.6'nın çözümü
Örnek 0.4. \(\alpha=(2,1)\) ve \(\beta=(1,5)\) için, \(\alpha_1>\beta_1\) olduğundan, \(\partial^\alpha x^\beta=0\)'dir.
ALIŞTIRMALAR
A.0.1.\(\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}x^5\)
A.0.2.\(\frac{\mathrm{d}^4}{\mathrm{d}x^4}x^4\)
A.0.3.\(\frac{\mathrm{d}^5}{\mathrm{d}x^5}x^3\)
A.0.4.\(\frac{\mathrm{d}^3}{\mathrm{d}x^3}x^6\)
YANITLAR
Y.0.1. \(\frac{5!}{(5-2)!}x^{5-2}=20x^3\)
Y.0.2. \(\frac{4!}{(4-4)!}x^{4-4}=24\)
Y.0.3. \(0\)
Y.0.4. \(\frac{6!}{(6-3)!}x^{6-3}=120x^3\)
PROBLEMLER (ÇOK-İNDİS)
P.0.1. Çok-indis, her \(\alpha_i \in \mathbb{N}_0\) olmak üzere, \(\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\mathbb{N}_0^n\) vektörü ile tanımlanır.
Eğer \(x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}\dots x_n^{\alpha_n}\) ve \(x^{\beta}=x_1^{\beta_1}\dots x_n^{\beta_n}\) ise o zaman,
\[x^{\alpha+\beta}=x^\alpha+x^\beta\]
dir. Gösteriniz.
P. 0.2. Çok-indis türev operatörü, \(u(x_1,\dots,x_n)\) yeterince türevlenebilir olmak üzere, \(\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots \partial x_n^{\alpha_n}}\) ile tanımlanır.
Her \(u\) için, \(\partial^{(0,0,0)}u=u\) olduğunu gösteriniz.
P.0.3. Bir çok-indisin mertebesi, \(\alpha_1+...+\alpha_n\) ile tanımlanır.
\(\alpha,\beta \in \mathbb{N}_0^n\) için, \(|\alpha+\beta|=|\alpha|+|\beta|\) olduğunu ispatlayınız.
P.0.4. \(\partial_x^0,\partial_y^0,\partial_z^0\) operatörleri özdeşlik operatörleridir.
\[
\begin{array}{rlcl}
u & : & \mathbb{R}^3 & \rightarrow \mathbb{R} \\
& & (x,y,z) & \mapsto e^{x+y+z}
\end{array}
\]
verilsin. Her \(\alpha \in \mathbb{N}_0^3\) için, \((\partial^\alpha u)(x,y,z)=e^{x+y+z}\) olduğunu gösteriniz.
P.0.5. Önerme 0.1'i ispatlayınız.
P.0.6. Lemma 0.1'i ispatlayınız.
P.0.7. Sonuç 0.4'i ispatlayınız: \(x=x_1\dots x_n\) olmak üzere, \(u(x)\) bir polinom ve \(\alpha\) bir çok-indis olsun. Eğer \(|\alpha|\), \(u\) polinomunun derecesinden büyük ise o zaman \(\partial^\alpha u≡0\) olur.
P.0.8. Her \(m \in \mathbb{N}\) için,\[\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}x^m=m!\]olduğunu gösteriniz.
İPUÇLARI
H.0.1. Aşağıdaki eşitlik doğrudur: \(x_i^{\alpha_i+\beta_i}=x_i^{\alpha_i}x_i^{\beta_i}\)H.0.2. \(\alpha_i=0\) olduğundan verilen operatör özdeşliktir.
H.0.3. Aşağıdaki eşitlik doğrudur: \(\sum_{k=1}^n(a_k±b_k)=\sum_{k=1}^n a_k±\sum_{k=1}^nb_k\)H.0.4. Üstel fonksiyonun her kısmi türevi kendisidir.
H.0.5. Tümevarımlar ispatlayınız.
H.0.6. Önerme 0.1'den başlayınız.
H.0.7. Polinom fonksiyonlarda her türevleme dereceyi en az bir düşürür.
H.0.8. Bkz. Önerme 0.1
ÇÖZÜMLER: 0.1-2
S.0.1. \(x^{\alpha}=x_1^{\alpha_1}\dots x_n^{\alpha_n}\) ve \(x^{\beta}=x_1^{\beta_1}\dots x_n^{\beta_n}\) olduğundan,\[\begin{align*}
x^{\alpha+\beta}
&= x_1^{\alpha_1+\beta_1} \dots x_n^{\alpha_n+\beta_n} \\
&= x_1^{\alpha_1} \dots x_n^{\alpha_n} \, x_1^{\beta_1} \dots x_n^{\beta_n} \\
&= x^{\alpha} x^{\beta}
\end{align*}
\]
dir. □
Çözümün kritik noktası üslerin toplanması kuralıdır.
S.0.2. \(\alpha=0\) alalım. O zaman,
\[|\alpha|=0\]
dir. Tanım gereği,
\[\partial^{(0,0,0)}u=\frac{\partial^0 x}{\partial x_1^0 \partial x_2^0\partial x_3^0}\]Sıfırıncı mertebe türev özdeşlik olarak tanımlandığından,\[\partial^{(0,0,0)}u=u\]
dir. □
Çözümün kritik noktası 0. mertebe türevin özdeşlik olmasıdır.
S.0.3. \(\alpha,\beta \in \mathbb{N}_0^n\) olsun. Bu durumda mertebe tanımından,
\[
\begin{array}{rcl}
|\alpha+\beta| & = & \displaystyle\sum_{i=1}^n(\alpha_i+\beta_i) \\
& = & \displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i + \sum_{i=1}^n \beta_i \\
& = & |\alpha| + |\beta|
\end{array}
\]
olur. □
İspatın kritik noktası \(\sum_{k=1}^n(a_k±b_k)=\sum_{k=1}^n a_k±\sum_{k=1}^nb_k\) olmasıdır.
S.0.4. Tanım gereği, \(\alpha \in \mathbb{N}_0^3\) için, \(|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\) ve \(\partial^\alpha u=\frac{\partial}{\partial x^{\alpha_1}\partial y^{\alpha_2}\partial z^{\alpha_3}}\)'dir.
Lemma. Her \(k\in \mathbb{N}_0\) için, \(\partial_x^k u=u\), \(\partial_y^k u=u\) ve \(\partial_z^k u=u\)'dir.
İspat. Önce \(x\) için gösterelim. \(u(x,y,z)=e^{x+y+z}\) olduğundan,
\[\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x} e^{x+y+z} &= e^{x+y+z} \\
&= u(x,y,z)
\end{align*}\]
Şimdi \(k\) üzerinden tümevarım yapalım. \(k=0\) için, \(\partial_x^0 u=u\) tanım gereği doğrudur. Eğer \(\partial_x^0 u=u\) doğru ise o zaman,
\[\begin{align*}
\partial_x^{k+1} u &= \partial_x(\partial_x^k u) \\
&= \partial_x(u) \\
&= u
\end{align*}
\]Dolayısıyla \(\partial_x^k u=u\) her \(k\in \mathbb{N}_0\) için geçerlidir. Aynı argümanla \(\partial_y^k u=u\) ve \(\partial_z^k u=u\) elde edilir. □
\(\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\in \mathbb{N}_0^3\) alalım. Tanım gereği, \[\partial^\alpha u=\partial_x^{\alpha_1}\partial_y^{\alpha_2}\partial_z^{\alpha_3}u\] dir. Lemmadan \(\partial_z^{\alpha_3} u=u\) olduğundan,
\[\partial^\alpha u=\partial_x^{\alpha_1}\partial_y^{\alpha_2}u\]
olur. Yine lemma ile \(\partial_y^{\alpha_2} u=u\) ve \(\partial_x^{\alpha_1} u=u\) elde edilir. Dolayısıyla, her \((x,y,z)\in \mathbb{R}^3\) için,\[\partial^\alpha u=u\]dir. □
Çözümün kritik noktası üstel fonksiyonun her kısmi türevinin kendisi olmasıdır.
S.0.5. \(k=1\) olsun. Bu durumda kuvvet kuralından, \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=mx^{m-1}\]dolayısıyla kesri genişleterek, \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=\frac{(m-1)!}{(m-1)!}mx^{m-1}\]buradan,\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=\frac{m!}{(m-1)!}x^{m-1}\] elde edildiğinden, önerme \(k=1\) için doğrudur.
\(1<k\le m\) için,\[\frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k}x^m=\frac{m!}{(m-k)!}x^{m-k}\]eşitliğinin doğru olduğunu varsayalım. Her tarafı türevleyelim.\[\frac{\mathrm{d}^{k+1}}{\mathrm{d}x^{k+1}}x^m=\frac{m!}{(m-(k+1))!}x^{m-(k+1)}\]O halde önerme \(k+1\) için doğrudur. \(k>m\) için, \(m\) kez türevleyince sabite iner, bir kez daha türevleyince sıfır olur. □
İspatın kritik noktası kuvvet kuralıdır.
S.0.6. İfadeleri açık yazalım.\[x^\beta=x_1^{\beta_1}\dots x_n^{\beta_n}\]\[\partial^\alpha=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial_{x_1}^{\alpha_1}}\dots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial_{x_n}^{\alpha_n}}\] Bu durumda, \[\partial^\alpha(x^\beta) = \left( \prod_{i=1}^n \partial_i^{\alpha_i} \right) \left( \prod_{j=1}^n x_j^{\beta_j} \right)\]
Bir \(\alpha_i\) operatörü sadece \(x_i\) değişkenine etki eder. \(j\neq i\) için \(x_j\) değişkenlerini sabit kabul eder. Bu yüzden operatörler değişkenlerine göre gruplandırılır.
\[
\begin{align*}
\partial^\alpha(x^\beta) &= (\partial_1^{\alpha_1} x_1^{\beta_1})\dots (\partial_n^{\alpha_n} x_n^{\beta_n})\\
&= \prod_{i=1}^{n}(\partial_i^{\alpha_i}(x_i^{\beta_i})) \\
\end{align*}
\]1. durum: Eğer her \(i\) için \(\alpha_i \leq \beta_i\) ise o zaman Önerme 0.1. gereğince her \(x_i^{\beta_i}\)'nin türevi,\[\partial_i^{\alpha_i}(x_i^{\beta_i})=\frac{\beta_i !}{(\beta_i-\alpha_i)!}x_i^{\beta_i-\alpha_i}\]
Her bir \(x_i^{\beta_i}\)'nin türevi çarpım sembolü ile birleştirilirse,
\[\partial^\alpha x^\beta = \prod_{i=1}^n \left( \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i} \right)\] elde edilir. Katsayı ve değişkenleri ayıralım. \[
\begin{align*}
\partial^\alpha x^\beta &= \left( \prod_{i=1}^n \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} \right)\left( \prod_{i=1}^n x_i^{\beta_i-\alpha_i} \right) \\
&= \left( \prod_{i=1}^n \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} \right) x^{\beta-\alpha}
\end{align*}
\]2. durum: Eğer en az bir \(i\) için \(\alpha_i>\beta_i\) ise o zaman, çarpımdaki terimlerden en az biri Önerme 0.1 gereği 0 olacağından
\[\partial^\alpha(x^\beta)=0\]
dir. □
İspatın kritik noktası kısmî türevin lineerliğidir.
S.0.7. \(u(x)\) bir polinom, \(\alpha \in \mathbb{N}_0^n\) bir çok-indis olsun.\[\beta_1,\dots,\beta_m \in \mathbb{N}_0^n\]çok-indisler olsun. \(c_k \in \mathbb{F}\) olmak üzere, \(u(x)\)'yu sonlu monomların toplamı olarak ifadesi,\[u(x)=c_1 x^{\beta_1}+...+c_m x^{\beta_m}\]dolayısıyla,\[u(x)=\sum_{k=1}^m c_k x_k^{\beta_k}\]dir. Bu durumda \(\beta_k=(\beta_{k1}, \dots, \beta_{kn})\) olmak üzere, her \(x^{\beta_k}\) için,\[x^{\beta_k}=x_1^{\beta_{k1}}\dots x_n^{\beta_{kn}}\]dir. Diğer taraftan, \(u\)'nun derecesi, \(|\beta_k|=\beta_{k1}+\dots +\beta_{kn}\) olmak üzere,\[\mathrm{deg}(u)=\mathrm{max}\{|\beta_1|,\dots,|\beta_m|\}\]dolayısıyla,
\[
\deg(u) = \max_{1 \leq k \leq m} |\beta_k|
\]dir. Türev lineer bir operatör olduğundan,
\[
\begin{align*}
\partial^\alpha u(x) &= \partial^\alpha \left(\sum_{k=1}^m c_k x^{\beta_k}\right) \\
&= \partial^\alpha (c_1 x^{\beta_1}+\dots+c_m x^{\beta_m}) \\
&= c_1 \partial^\alpha (x^{\beta_1})+\dots+c_m \partial^\alpha (x^{\beta_m}) \\
&= \sum_{k=1}^m c_k \partial^\alpha (x^{\beta_k})
\end{align*}
\]elde edilir. \(\alpha>\mathrm{deg}(u)\) olsun. \(\mathrm{deg}(u)=\mathrm{max}|\beta_k|\) olduğundan,\[|\beta_k|\leq \mathrm{deg}(u)<|\alpha|\]
dir. Dolayısıyla,\[\forall k\in \{1,\dots,m\} \quad \alpha \nleq \beta_k\]dir. Lemma 0.1 gereği,\[\forall k\in \{1,\dots,m\} \quad \partial^{\alpha}(x^{\beta_k}=0)\]
Dolayısıyla,
\[
\begin{align*}
\partial^\alpha u(x) &= \underbrace{c_1 \partial^{\alpha}(x^{\beta_1})}_{0} + \underbrace{c_2 \partial^{\alpha}(x^{\beta_2})}_{0} + \cdots + \underbrace{c_m \partial^{\alpha}(x^{\beta_m})}_{0} \\
&= \sum_{k=1}^{m} c_k \underbrace{\partial^{\alpha}(x^{\beta_k})}_{0} \\
&= 0
\end{align*}
\]Sonuç olarak, \(\partial^\alpha u≡0\)'dir.
□İspatın kritik noktası \(\alpha \leq \beta \Rightarrow |\alpha| \leq |\beta|\) olmasıdır.
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder