MAT222 4. Hafta Uygulamaları

1. $f$, $[a.b]$ üzerinde sınırlı bir fonksiyon ve $a<c<b$ olsun. O zaman,$$f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{R}[a,b]\iff <!--\; \iff \; -->f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{R}[a,c]\wedge <!--\; \wedge \; -->f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{R}[c,b]$$ dir ve bu durumda, $${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f={\int <!--\; \int \; -->}_a^{c}f+{\int <!--\; \int \; -->}_c^{b}f$$dir.

Yukarıdaki teoremi ispatlayınız.


2. $f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$, bir fonksiyon ve $x\ne <!--\; \ne \; -->c_1,...,c_r$ için $f(x)=0$ olsun. O zaman $f\in <!--\; \in \; -->\mathcal{R}[a,b]$ ve ${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f=0$ olduğunu gösteriniz.


3.  $f,g\in <!--\; \in \; -->\mathcal{R}[a,b]$ ve sonlu nokta hariç $f(x)=g(x)$ olsun. O zaman ${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}f={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}g$ olduğunu gösteriniz (ipucu: $f-<!--\; -\; -->g$'yi ele alınız).


4.   $$h:[0,1]\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$$$h(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{eğer }0\le <!--\; \le \; -->x<1\\ 2& \text{eğer x=1}\end{array}$$ fonksiyonu için,

(i)  Her $P$ parçalanışı için $L(P,h)=1$ olduğunu gösteriniz.

(ii)  $U(P,h)<1+1/10$ olacak biçimde bir $P$ parçalanışı bulunuz.

(iii) $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}>0$ için $U(P_{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}},f)<1+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$ olacak biçimde $P_{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}$ bulunuz.


İndirmek için tıklayınız.


Analiz IV Ders Notlarına gitmek için tıklayınız.

Tüm dersler için tıklayınız.