MAT222 5. Hafta Uygulamaları

1. $f(t)=\{\begin{array}{ll}t& \text{eger }0\le <!--\; \le \; -->t<1\text{ ise}\\ b-<!--\; -\; -->t^2& \text{eger }1\le <!--\; \le \; -->t\le <!--\; \le \; -->2\text{ ise} \end{array}$
$\begin{array}{l}\end{array}$ve, $$F(t)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{x}f(t)dt,0\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->2$$olsun.

(i)$F(x)=?$
(ii) $F$ , hangi değerleri için [0,2]'de diferansiyellenebilir?


2. $f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}$, sürekli bir fonksiyon, $H:[a,b]\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->},H(x)={\int <!--\; \int \; -->}_x^{b}f$ ise


3. $F:[0,1]\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->},F^{\prime }(x)=?$ ($f$, [0,1]'de sürekli)

(i)${\int <!--\; \int \; -->}_0^x\frac{1}{t^2}dt$

(ii)${\int <!--\; \int \; -->}_0^x\cos <!--\; \; -->t^{2}dt$

(iii) ${\int <!--\; \int \; -->}_x^1\sqrt{1+t^3}dt$

(iv)${\int <!--\; \int \; -->}_0^{x^2}f(t)dt$


4. $f:[a,]\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}$ sürekli ise, $g,h:[c,d]\to <!--\; \to \; -->[a,b]$ diferansiyellenebilir olsun. Eğer $x\in <!--\; \in \; -->[c,d]$ için, $$H(x)={\int <!--\; \int \; -->}_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt$$
ise $H^{\prime }(x)=?$


5. $f:\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}$ sürekli ve $a>0$ için $g:\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\Re <!--\; \Re \; -->}$ ve, $$g(x)={\int <!--\; \int \; -->}_{x-<!--\; -\; -->a}^{x+a}f(t)dt$$
ise, o zaman $g$'nin diferansiyellenebilir olduğunu gösteriniz.



İNDİR