(21) Öklid'in 18 ve 24. Önermelerinin Kanıtı

Öklid'in 18. Önermesi
Herhangi bir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıya karşılık gelir.

Kanıt

Bir ${\displaystyle ABC}$ üçgeni verilsin.

${\displaystyle \times \mid AC\mid >\mid AB\mid \text{olsun}}$

Şimdi ${\displaystyle \mid AC\mid >\mid AB\mid }$ise ${\displaystyle \angle ABC>\angle ACB}$ önermesini kanıtlayalım. ${\displaystyle \mid AC\mid >\mid AB\mid \text{olsun}}$ olduğu için ${\displaystyle \mid AD\mid =\mid AB\mid }$ olacak biçimde bir ${\displaystyle AB}$ sınırlı doğrusu inşa edilebilir (3. önerme). ${\displaystyle B}$ ve ${\displaystyle D}$ noktalarını birleştirip ${\displaystyle BD}$ doğrusunu çizelim (1. postulat). ${\displaystyle ABD}$ üçgeninde, ${\displaystyle \mid AD\mid =\mid AB\mid }$ olduğundan dolayı, bu kenarların gördüğü açılar da eşit olur (5. önerme).

${\displaystyle \times \angle ABD=\angle ADB\times \times \times \times \times \times x\left(1\right)}$

${\displaystyle BDC}$ üçgeninin ${\displaystyle DC}$ kenarı ${\displaystyle D}$ noktası yönünde uzatıldığında oluşan açı, ${\displaystyle \angle BCD}$'den büyük olur (16. önerme):

${\displaystyle \times \angle ADB>\angle ACB\times \times \times \times \times \times x\left(2\right)}$

${\displaystyle \angle ABD}$, ${\displaystyle \angle ABC}$'nin bir parçasıdır ve ondan büyüktür (5. ortak kavram).

${\displaystyle \times \angle ABC>\angle ABD\times \times \times \times \times \times x\left(3\right)}$

olduğu için (1)'den dolayı,

${\displaystyle \times \angle ABC>\angle ADB\times \times \times \times \times \times x\left(4\right)}$

O halde şimdi (2)'den dolayı,

${\displaystyle \times \angle ABC>\angle ADB>\angle ACB}$

olacaktır. Böylece,

${\displaystyle \times \mid AC\mid >\mid AB\mid \text{ise}\angle ABC>\angle ACB}$

önermesi kanıtlanmış olur. O halde herhangi bir üçgende daha büyük kenar, daha büyük açıya karşılık gelir.

Öklid'in 24. Önermesi
Eğer iki üçgende ikişer kenar eşitse ama bu kenarların arasındaki açı bir üçgende daha büyükse bu üçgenin tabanı diğer üçgenin tabanından daha büyüktür.

Kanıt
Bir ${\displaystyle ABC}$ üçgeni ve bir ${\displaystyle DEF}$ üçgeni verilsin. ${\displaystyle \mid AB\mid =\mid DE\mid }$ ve ${\displaystyle \mid AC\mid =\mid DF\mid }$ ama ${\displaystyle \angle BAC>\angle DEF}$ olsun.

Şimdi ${\displaystyle \angle BAC>\angle EDF}$ ise ${\displaystyle \mid BC\mid >\mid EF\mid }$ önermesini kanıtlayalım. ${\displaystyle \angle BAC}$ açısını ${\displaystyle D}$ noktasına taşıyalım (23. önerme). Uç nokta ${\displaystyle G}$ olsun. ${\displaystyle \mid AC\mid =\mid DF\mid }$ ve ${\displaystyle \mid AC\mid =\mid DG\mid }$ olduğu için üç uzunluk da birbirine eşittir (1. ortak kavram):

${\displaystyle \times \mid DF\mid =\mid DG\mid \times \times \times \times \times \times x\left(5\right)}$

${\displaystyle GE}$ ve ${\displaystyle GF}$ doğrularını çizelim (1. postulat). ${\displaystyle \mid AB\mid =\mid DE\mid }$, ${\displaystyle \mid AC\mid =\mid DG\mid }$ ve ${\displaystyle \angle BAC>\angle EDG}$ olduğu için ${\displaystyle ABC}$ üçgeni, ${\displaystyle DEG}$ üçgenine eşittir (4. önerme):

${\displaystyle \times \mid BC\mid =\mid EG\mid \times \times \times \times \times \times x\left(6\right)}$

(5)'ten dolayı, ${\displaystyle EDG}$ üçgeninde taban açıları eşittir (5. önerme):

${\displaystyle \times \angle DFG=\angle DGF\times \times \times \times \times \times \left(7\right)}$

${\displaystyle \angle DFG}$, ${\displaystyle \angle EFG}$'nin bir parçası olup, ${\displaystyle \angle EFG>\angle DFG}$'dir (5. ortak kavram). ${\displaystyle \angle EGF}$, ${\displaystyle \angle DGF}$'nin bir parçası olduğundan ${\displaystyle \angle DGF>\angle EGF}$'dir (5. ortak kavram). O halde (7)'ten dolayı,

${\displaystyle \times \angle EFG>\angle DFG>\angle EGF\text{ya da kısaca}\angle EFG>\angle EGF}$

Buradan ${\displaystyle EFG}$ üçgeninde, ${\displaystyle \angle EFG}$'nin gördüğü kenar, ${\displaystyle \angle EGF}$'nin gördüğü kenardan daha büyüktür (19. önerme):

${\displaystyle \times \mid EG\mid >\mid EF\mid }$

Şimdi (6)'dan dolayı,

${\displaystyle \times \mid BC\mid >\mid EF\mid }$

O halde ${\displaystyle \angle BAC>\angle EDF}$ ise ${\displaystyle \mid BC\mid >\mid EF\mid }$ önermesi kanıtlanmıştır.

Kullanılan postulat, ortak kavram ve önermeler:
1. postulat: Bir noktadan her hangi bir noktaya doğru çizilebilir.
1. ortak kavram: Eşitler eşittir.
5. ortak kavram: Bütün, parçadan büyüktür.
3. önerme: Eşit olmayan iki doğru verilirse, daha büyük olandan daha küçük olana eşit bir sınırlı doğru ayrılabilir.
4. önerme: Kenar-açı-kenar eşitliği.
5. önerme: İkizkenar üçgende tabandaki açılar birbirine eşittir.
16. önerme:  Herhangi bir üçgenin kenarları uzatıldığında dış açı, iç ve karşıt açıdan büyüktür.
19. önerme:  Herhangi bir üçgende daha büyük açı daha büyük kenara karşılık gelir.
23. önerme: Verilmiş bir doğrunun verilmiş bir noktasında verilmiş bir açıya eşit açı çizmek.

Yardımlarından dolayı Yrd. Doç. Dr. Gülay İlona Telsiz Kayaoğlu'na teşekkür ederim.