Biçimsel Kanıt Problemlerinin Çözümleri

(1) Doğruluk tablosu ile gösteriniz:

F≡G ancak ve ancak F<->G bir totolojidir.

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 2)

Çözüm:

Gereklilik;

F<->G

111

010

Yeterlilik;

(F<->G)→(FΛG)

1111111

1001100

0011001

0101000

(→'nin altındaki sütuna bakın)

(2) Biçimsel (formel) kanıt ile gösteriniz:

F≡G ancak ve ancak F<->G bir totolojidir.

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 2)

Çözüm:

Gereklilik;

1. F≡G (hipotez)

2. 1 (aksiyom)

3. ¬FVF (2. adımdam fazlalıkla)

4. ¬FVG (3. adımdan)

5. ¬FV(GΛG) (4. adımdan fazlalıkla)

6. (¬FVG)Λ(¬GVF) (dağılma özelliği)

7. (F→G)Λ(G→F) (denklik)

8. F<->G (7. adımdan)

Yeterlilik;

1. F<->G (hipotez)

2. 1 (aksiyom)

3. ¬FVF (2. adımdan fazlalıkla)

4. (F→G)Λ(G→F) (denklik)

5. (¬FVG)Λ(¬GVF) (denklik)

6. ¬FVG (5. adımdan)

7. F≡G (3. adımdan)

BASİTLEŞTİRME TEOREMİ

(3) PΛQ gerektirir P

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 3.1)

Çözüm:

1. PΛQ (hipotez)

2. 1 (aksiyom)

3. 1V¬Q (2. adımdan fazlalıkla)

4. PV¬PV¬Q (3. adımdan fazlalıkla)

5. PV¬(PΛQ) (4. adımdam De Morgan ile)

6. PΛQ→P (denklik)

7. P (1. va 6. adımdan ayırma ile)

EKLEME TEOREMİ

(4) P gerektirir PVQ

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 3.1)

Çözüm:

1. P (hipotez)

2. PΛ(PVQ) (yutma teoremi)

3. PVQ (basitleştirme teoremi)

(5) Q gerektirir PVQ

Çözüm: Benzer şekilde

 BAĞLAMA TEOREMİ

(6) P, Q gerektirir PΛQ

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 3.1)

1. Çözüm:

1. P (hipotez)

2. (PΛ¬Q)V(PΛQ) (yeni değişken)

3. ¬PVQ→PΛQ (De Morgan ile)

4. Q (hipotez)

5. ¬PVQ (ekleme teoremi)

6. PΛQ (3. ve 5. adımdan ayırma)

2. Çözüm:

1. P (hipotez)

2. Q (hipotez)

3. ¬PVQ (2. adımdan ekleme ile)

4. (PΛ¬Q)V(PΛQ) (1. adımdan yeni değişken ile)

5. ¬PVQ→PΛQ (4. adımdan De Morgan ile)

6. PΛQ (3. ve 5. adımdan ayırma ile)

MODUS PONENS (Modus Ponendo Ponens)

(7) P, P→Q gerektirir Q

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 3.4)

Çözüm:

1. P (hipotez)

2. PVQ (1. adımdan ekleme ile)

3. P→Q (hipotez)

4. ¬PVQ (denklik)

5. (PVQ)Λ(¬PVQ) (2. ve 4. adımdan bağlama ile)

6. (PΛ¬P)VQ (dağılma özelliği)

7. 0VQ (6. adımdan fazlalık ile)

8. Q (7. adımdan fazlalık ile)

MODUS TOLENS (Modus Tollendo Tolens)

(8) P→Q, ¬Q gerektirir ¬P

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 3.4)

Çözüm:

1. P→Q (hipotez)

2. ¬Q (hipotez)

3. ¬PVQ (1. adımdan)

4. (¬PVQ)Λ¬Q (2. ve 3. adımdan bağlama ile)

5. (¬PΛ¬Q)V(QΛ¬Q) (dağılma özelliği)

6. (¬PΛ¬Q)V0 (5. adımdan fazlalık ile)

7. ¬PΛ¬Q (6. adımdan fazlalık ile)

8. ¬P (7. adımdan fazlalık ile)

AYIRICI KIYAS

(9) PVQ, ¬P gerektirir Q

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Teorem 3.4)

Çözüm:

1. PVQ (hipotez)

2. ¬P (hipotez)

3. ¬P→Q (1. adımdan)

4. Q (2. ve 3. adımdan ayırma ile)

(10) PVQ, ¬Q gerektirir P

Çözüm: Benzer şekilde

(11) =>P→P→P

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Alıştırma 3.1)

Çözüm:

1. 1 (aksiyom)

2. 1VCP (fazlalık)

3. P→1 (denklik)

4. P→(¬PVP) (fazlalık)

5. P→P→P (denklik)

(12) =>P→Q→P

(Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar, Alıştırma 3.2)

Çözüm:

1. 1 (aksiyom)

2. 1V¬Q (ekleme)

3. (¬PVP)V¬Q (2. adımdam fazlalıkla)

4. ¬PV¬QVP (birleşme özelliği)

5. ¬PV(Q→P) (denklik)

6. P→Q→P (denklik)


(13) =>(P→Q)→(P→P)
(Nesin: Önsav XI.1)

Çözüm:
1. P→(Q→P) (aksiyom)
2. (P→(Q→P))→((P→Q)→(P→P)) (aksiyom)
3. (P→Q)→(P→P) (1. ve 2. adımdan modus ponens ile)


(14) =>(P→P)→(P→P)
(Nesin: Önsav XI.1)

Çözüm:
1. P→(P→P) (aksiyom)
2. (P→(P→P))→((P→P)→(P→P)) (aksiyom)
3. (P→P)→(P→P) (1. ve 2. adımdan modus ponens ile)


(15) =>(P→(P→P))→(P→P)
(Nesin: Önsav XI.1)

Çözüm:
1. P→((P→P)→P) (aksiyom)
2. (P→((P→P)→P))→((P→(P→P))→(P→P)) (aksiyom)
3. (P→(P→P))→(P→P) (1. ve 2. adımdan modus ponens ile)

(16) =>P→P
(Nesin: Önsav XI.2)

Çözüm:
1. P→(P→P) (aksiyom)
2. P→((P→P)→P) (aksiyom)
3. (P→((P→P)→P))→((P→(P→P))→(P→P)) (aksiyom)
4. (P→(P→P))→(P→P) (2. ve 3. adımdan modus ponens ile)
5. P→P (1. ve 4. adımdan modus ponens ile)

(17) ¬P gerektirir P→Q
(Nesin: Önsav XI.3)

Çözüm:
YANLIŞTAN DOĞRU ÇIKAR
Çıkmaz! Eğer çıkar derseniz, ne kadar hırsız varsa zekat verir, hacca gider, imam hatip yaptırır. Ondan sonra diyanet, ucunun nereye gideceğini düşünmeden haram para ile hac sahihtir fetvası verir. O bakımdan doğrusu:
YANLIŞTAN DOĞRU DA ÇIKABİLİR YANLIŞ DA ÇIKABİLİR!
O halde en iyisi yanlış yapmamak. Kanıt:

1. ¬P (hipotez)
2. ¬P→(¬Q→¬P) (aksiyom)
3. ¬Q→¬P (1. ve 2. satırdan modus ponens ile)
4. (¬Q→¬P)→P→Q) (aksiyom)
5. P→Q (3. ve 4. adımdan modus ponens ile. Gördüğünüz gibi Q çıktı ama Q'nun doğru ya da yanlış olduğunu söylemedik.)



Kaynaklar:
David Pierce, Önermeler Mantığındaki Biçimsel Kanıtlar
Ali Nesin, Önermeler Mantığı