Gerçel Sayı Alıştırmalarının Çözümleri

(1) Her ${\displaystyle a}$ için, ${\displaystyle (-a)\times (-a)=a\times a}$

Çözüm


${\displaystyle \times (-a)(-a)=(-1)a(-1)a}$          (dağılma)
${\displaystyle \times \times \times \times \times =(-1)(-1)aa}$            (değişme)
${\displaystyle \times \times \times \times \times =1aa}$                               (dağılma)
${\displaystyle \times \times \times \times \times =aa}$               □



(2) ${\displaystyle ℝ}$'de, ${\displaystyle -(-a)=a}$'dır.

Çözüm

${\displaystyle \times (-(-a)+(-a)=0}$
${\displaystyle \times \times \times \times \times \times \times =a+(-a)}$               (toplamsal ters)

Sadeleştirme ile,

${\displaystyle \times (-(-a)=a}$               □


(3) ${\displaystyle a+b}$ sayısının toplamsal tersi ${\displaystyle -a-b}$'dir.

Çözüm

${\displaystyle \times 0=0+0}$               (birim eleman)

${\displaystyle \times =a+(-a)+b+(-b)}$               (toplamsal ters)
${\displaystyle \times =a+b+(-a)+(-b)}$               (değişme)
${\displaystyle \times =a+b+(-a-b)}$               □


(4) ${\displaystyle a-b}$ sayısının toplamsal tersi ${\displaystyle b-a}$'dır.

Çözüm

Benzer şekilde.


(5) ${\displaystyle a\ne 0}$ için, eğer ${\displaystyle ax=a}$ ise, o zaman ${\displaystyle x=1}$'dir.

Çözüm

1'den başka, 1' elemanı da birim eleman olsun. ${\displaystyle 1\times 1=1}$ olduğundan, çarpımsal ters biriciktir. Dolayısıyla, ${\displaystyle x=1}$'dir


(6) Eğer ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b\in ℝ}$ ise, o zaman ${\displaystyle a+x=b}$ olacak biçimde bir tek ${\displaystyle x\in ℝ}$ vardır ve ${\displaystyle x=b+(-a)}$'dır.

Çözüm



(7) ${\displaystyle a^2=a\times a}$ olmak üzere, her ${\displaystyle a\in ℝ}$ için,

${\displaystyle \times \times \times a^2\ge 0}$

Çözüm



(8) ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c\in ℝ}$ olmak üzere, ${\displaystyle a=b}$ eşitliği için,

${\displaystyle \times \times \times a+c=b+c}$

olması gerekli ve yeterlidir.

Çözüm

(9) ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c\in ℝ}$ olmak üzere, ${\displaystyle a+c\le b+c}$ olması için,

${\displaystyle \times \times \times a\le b}$

olması gerekli ve yeterlidir.


Çözüm

(10) ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c\in ℝ}$ olmak üzere, ${\displaystyle a-c>b-c}$ olması için,

${\displaystyle \times \times \times a>b}$

olması gerekli ve yeterlidir.

Çözüm