(17) N Kenarlı Konveks Bir Çokgenin Köşegen Sayısı

${\displaystyle n>3}$ için,
${\displaystyle n}$ kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısı ${\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}$'dir.

İspat 1:
Doğrusal olmayan ${\displaystyle n}$ noktadan geçen doğru sayısı  ${\displaystyle C(n,2)}$’dir. Bu${\displaystyle C(n,2)}$doğrunun ${\displaystyle n}$ tanesi “kenar”dır. O halde köşegen sayısı${\displaystyle C(n,2)-n}$ olacaktır.(1.1)

${\displaystyle C(n,2)-n=\left(n\frac{!}{(n-2)!(2!)}\right)-n}$

${\displaystyle =\left(\frac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}\right)-n}$

${\displaystyle =\frac{n^2-n-2n}{2}}$

${\displaystyle =\frac{n^2-3n}{2}}$ elde edilir.

İspat 2:
${\displaystyle n=4}$ için,${\displaystyle \frac{4(4-3)}{2}=2}$ doğrudur.(2.1)

${\displaystyle n=k}$ için, köşegen sayısı ${\displaystyle A=\frac{k(k-3)}{2}}$ olsun.(2.2)

${\displaystyle n=k+1}$ için, köşegen sayısının ${\displaystyle \frac{(k+1)(k-2)}{2}}$ olduğunu gösterelim.

${\displaystyle A+k-1=\left(\frac{k(k-3)}{2}\right)+k-1}$ (2.2 nolu denklemin her iki tarafına ${\displaystyle k-1}$ ekledik)

${\displaystyle \Rightarrow A+k-1=\left(\frac{k(k-3)+2k-2}{2}\right)}$ ${\displaystyle =\frac{k^2-k-2}{2}}$

${\displaystyle n>3}$ için, n kenarlı konveks bir çokgenin köşegen sayısının${\displaystyle \frac{n(n-3)}{2}}$ olduğu tümevarımla ispatlanmıştır.