(54) MAT216 Geometri ve Cebir Alıştırmaları-Çözümlü

A1. Çarpımsal ters biriciktir. Gösteriniz.

Çözüm:

1'den başka, 1' elemanı da birim eleman olsun. ${\displaystyle 1\times 1=1}$ olduğundan, çarpımsal ters biriciktir. Dolayısıyla, ${\displaystyle \mathrm{1\text{'}}=1}$'dir.


B1. Yarı gruplara bir örnek veriniz.


B2. Monoidlere bir örnek veriniz.


B3. Bir grup tablosunda her bir eleman tam olarak her bir satır ve sütunda bir kez bulunur.


B4. Bir izometrinin tersi izometridir.


C1 Uzunluğu 2 olan devrelere 2-çevrim ya da transpozisyon denir.

Buna göre 2-çevrimlerin (transpozisyon) ${\displaystyle S_n}$ simetrik grubunu ürettiğini gösteriniz.

Çözüm:
${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$ olmak üzere, ${\displaystyle (a_1{a}_2...a_k)}$ devresi verilmiş olsun. Çarpım tanımından,

${\displaystyle \left(a_1{a}_k\right)\left(a_1{a}_{k-1}\right)...\left(a_1{a}_3\right)\left(a_1{a}_2\right)=a_1\to a_2\to ...\to a_k}$
${\displaystyle \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times =(a_1{a}_2...a_k)\square }$


D1. Çift permütasyonların oluşturduğu gruba alterne grup denir.

Buna göre 3-çevrimlerin ${\displaystyle A_n}$ alterne grubunu ürettiğini gösteriniz.

Çözüm:
${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$ olmak üzere, ${\displaystyle (a_1{a}_2...a_{2k-1})}$ çift devresi verilmiş olsun. Çarpım tanımından,

${\displaystyle \left(a_1{a}_{2k-2}{a}_{2k-1}\right)...\left(a_1{a}_2{a}_3\right)=a_1\to a_2\to ...\to a_{2k-1}}$
${\displaystyle \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times \times =(a_1{a}_2...a_{2k-1})\square }$


E1. İki Abelyen grubun direkt çarpımı Abelyendir.