(Foundations of ODEs and PDEs: An Axiomatic Approach)
0. ÖN BİLGİLER
0.1. ÇOK-İNDİS
Çok-indis notasyonu, çok değişkenli türevler ve üs ifadeleri için standart ve kompakt bir gösterim sağlar.
Tanım. Çok-indis, her \(\alpha_i \in \mathbb{N}_0\) olmak üzere,
\[\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\mathbb{N}_0^n\]
\[\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in\mathbb{N}_0^n\]
vektörü ile tanımlanır.
Örnek 1. \(x_1^2x_2^3\) çarpımı,
\[x^{(2,3)}\]
veya
\[x^\alpha,\quad \alpha=(2,3)\]
ile gösterilir. Bu başlık altındaki çalışmalarda ikinci gösterim tercih edilecektir.
Tanım. Bir çok-indisin mertebesi,
\[\alpha_1+...+\alpha_n\]
ile tanımlanır ve,
\[|\alpha|\]
ile gösterilir.
Örnek 2. \(x=(x_1,x_2)\) için,
\[\frac{\partial^3u(x_1,x_2)}{\partial x_1^2 \partial x_2}\]
kısmi türevi kısaca,
\[\partial^\alpha u(x), \quad \alpha=(2,1)\]
ile gösterilir.
Örnek 3. \(x=(x_1,\dots, x_n)\) için,
\[\frac{\partial^{|\alpha|}u(x_1,\dots,x_n)}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots \partial x_n^{\alpha_n}},\quad \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\]
kısmi türevi kısaca,
\[\partial^\alpha u(x),\quad \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\]
ile gösterilir.
Tanım. \(u(x_1,\dots,x_n)\) yeterince türevlenebilir olsun. Çok-indis türev operatörü,
\[\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots \partial x_n^{\alpha_n}}\]
ile tanımlanır ve,
\[(\partial^\alpha u)x\]
ile gösterilir.
PROBLEMLER (ÇOK-İNDİS)
P. 0.1. Çok-indis türev operatörü, \(u(x_1,\dots,x_n)\) yeterince türevlenebilir olmak üzere, \(\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\dots \partial x_n^{\alpha_n}}\) ile tanımlanır.
Her \(u\) için, \(\partial^{(0,0,0)}u=u\) olduğunu gösteriniz.
İPUÇLARI
H.0.1. \(\alpha_i=\) olduğundan verilen operatör özdeşliktir.
ÇÖZÜMLER: 0.1-2
S.0.1. \(\alpha=0\) alalım. O zaman,
\[|\alpha|=0\]
dir. Tanım gereği,
\[\partial=\frac{\partial^0 x}{\partial x^0 \partial x^0\partial x^0}\]
Sıfırıncı mertebe türev özdeşlik olarak tanımlandığından,
\[\partial^{(0,0,0)}u=u\]
□
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder