(7) Bir Doğru Parçasını İçten ve Dıştan Bölen Noktalar

k Є R+ için,
analitik düzlemde
A(x₁, x₂), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)
ve C Є [AB] ise
C noktası [AB] doğru parçasını
|AC| / |BC| = k
oranında içten böler denir ve C noktasının koordinatları
(x₃, y₃) = ((x₁ + kx₂)/(1 + k), (y₁ + ky₂)/(1 + k))
olur.
İspat:

Thales Teoreminin bir gereği olarak
|AC| / |BC| = k <=> (x₃ -x₁) / (x₂ - x₃) = k
<=> (y₃ - y₁) / (y₂ - y₃) = k (1)
=> x₃ - x₁ = kx₂ - kx₃ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)
=> x₃ + kx₃ = x₁ + kx₂
=> x₃ (1 + k) = x₁ + kx₂
Denklem (1)’den
y₃ - y₁ = ky₂ - ky₃ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)
=> y₃ + ky₃ = y₁ + ky₂
=> y₃ (1 + k) = y₁ + ky₂
k Є R+ için,
analitik düzlemde
A(x₁, x₂), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)
ve C Є AB ve C ∉ [AB] ise
C noktası [AB] doğru parçasını
|AC| / |BC| = k
oranında dıştan böler denir ve C noktasının koordinatları
(x₃, y₃) = ((x₁ + kx₂)/(1 - k), (y₁ + ky₂)/(1 - k))
olur.
İspat:
Thales Teoreminin bir gereği olarak
|AC| / |BC| = k <=> (x₃ - x₁) / (x₃ - x₂) = k
<=> (y₃ - y₁) / (y₃ - y₂) = k (2)
=> x₃ - x₁ = kx₃ - kx₂ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)
=> x₃ - kx₃ = x₁ - kx₂
=> x₃ (1 - k) = x₁ - kx₂
Denklem (2)’den
y₃ - y₁ = ky₃ - ky₂ (içler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir)
=> y₃ - ky₃ = y₁ - ky₂
=> y₃ (1 - k) = y₁ - ky₂