Özgür Özer Seçkisi: (62) Regüler Girdili 2×2 Matrisler Halkasının Von Neumann Regüler Halka Koşulunu Sağlaması Üzerine

1 Ekim 2019 Salı

(62) Regüler Girdili 2×2 Matrisler Halkasının Von Neumann Regüler Halka Koşulunu Sağlaması Üzerine

(Eğer

$R$ bir bölme halkası ise, o zaman

$M_{2} (R)$ 'nin bir regüler halka olduğunun bir ispatı)

Tanım:

$R$ , bir halka olsun. Eğer

$R$ halkasının her elemanı düzenli ise,

$R$ halkasına düzenli halka veya regüler halka denir.

Önerme: Eğer

$R$ bir bölme halkası ise, o zaman

$M_{2} (R)$ bir regüler halkadır.

İspat:

$A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \in M_{2} (R)$ olsun.

BİRİNCİ DURUM

$a = b = c = d = 0_{R}$ olsun. O zaman,

$\begin{aligned} A ⊙_{R} A ⊙_{R} A & = A^{3} \\ = A \end{aligned}$ olduğundan,

$X = A \in M_{2} (R)$ için

$A X A = A$ koşulu sağlanır.

İKİNCİ DURUM

$A \neq (\begin{matrix} 0_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} \end{matrix}) ve a d - b c \neq 0_{R}$ olsun.

$R$ bölme halkası olduğundan,

$\begin{aligned} A A^{- 1} A & = (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}) \frac{1}{a d - b c} (\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}) (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} 1_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 1_{R} \end{array}) A \\ = I A \\ = A \end{aligned}$ dir. Dolayısıyla,

$X = A^{- 1} M_{2} (R)$ için,

$A X A = A$ koşulu sağlanır.

ÜÇÜNCÜ DURUM

$A \neq (\begin{matrix} 0_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} \end{matrix}) ve a d - b c = 0_{R}$ olsun.

$p, q, r, s \in R - 0_{R}$ olmak üzere,

$q= \frac{pb}{q} \textrm{ ve } as \neq br$ olacak biçimde,

$B := (\begin{matrix} 1_{R} & p \\ c / a & q \end{matrix}), C := (\begin{matrix} a & b \\ r & s \end{matrix}), D := (\begin{matrix} 1_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} \end{matrix})$ matrislerini tanımlayalım. Bu durumda,

$\begin{aligned} B D C & = (\begin{array}{c} 1_{R} & 0_{R} \\ c / a & 0_{R} \end{array}) (\begin{array}{c} a & b \\ r & s \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} a & b \\ c & (b c) / a \end{array}) \end{aligned}$

$a d = b c$ olduğundan,

$\begin{aligned} B D C & = (\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}) \\ = A (*) \end{aligned}$ dir. Diğer taraftan,

$(\begin{matrix} 1_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1_{R} & 0_{R} \\ 0_{R} & 0_{R} \end{matrix})$ olduğundan,

$D$ idempotent elemandır. Dolayısıyla, (*)'den,

$\begin{align} AC^{-1}B^{-1}A &= BDCC^{-1}B^{-1}BDC \nonumber \\ &= BDDC\nonumber \\ &= BDC \nonumber \\ &= A \end{align}$ olduğundan,

$C^{- 1} B^{- 1} = X \in M_{2} (R)$ için,

$A X A = A$ koşulu sağlanır. Dolayısıyla her

$A \in M_{2} (R)$ bir regüler elemandır. Regüler halka tanımı gereği,

$(M_{2} (R), \oplus_{R}, ⊙_{R})$ sistemi, bir regüler halkadır.

Sonuç: Eğer

$R$ bir bölme halkası ise, "

$\oplus_{R}$ " matris toplaması ve "

$⊙_{R}$ " matris çarpması olmak üzere,

$(M_{2} (R), ⊙_{R}, \oplus_{R})$ sisteminin bir regüler halka olduğu durum analizi ile ispatlanmıştır.

TEŞEKKÜR

Değerli tavsiyelerinden dolayı Dr. Öğr. Üyesi Sevan Bedikyan'a teşekkür ederim.

İndir