Öklid'in 18. Önermesi
Herhangi bir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıya karşılık gelir.
Kanıt
Bir ABC üçgeni verilsin.
×∣AC∣>∣AB∣olsun
Şimdi ∣AC∣>∣AB∣ise ∠ABC>∠ACB önermesini kanıtlayalım. ∣AC∣>∣AB∣olsun olduğu için ∣AD∣=∣AB∣ olacak biçimde bir AB sınırlı doğrusu inşa edilebilir (3. önerme). B ve D noktalarını birleştirip BD doğrusunu çizelim (1. postulat). ABD üçgeninde, ∣AD∣=∣AB∣ olduğundan dolayı, bu kenarların gördüğü açılar da eşit olur (5. önerme).
×∠ABD=∠ADB××××××x(1)
BDC üçgeninin DC kenarı D noktası yönünde uzatıldığında oluşan açı, ∠BCD'den büyük olur (16. önerme):
×∠ADB>∠ACB××××××x(2)
∠ABD, ∠ABC'nin bir parçasıdır ve ondan büyüktür (5. ortak kavram).
×∠ABC>∠ABD××××××x(3)
olduğu için (1)'den dolayı,
×∠ABC>∠ADB××××××x(4)
O halde şimdi (2)'den dolayı,
×∠ABC>∠ADB>∠ACB
olacaktır. Böylece,
×∣AC∣>∣AB∣ise∠ABC>∠ACB
önermesi kanıtlanmış olur. O halde herhangi bir üçgende daha büyük kenar, daha büyük açıya karşılık gelir.
Öklid'in 24. Önermesi
Eğer iki üçgende ikişer kenar eşitse ama bu kenarların arasındaki açı bir üçgende daha büyükse bu üçgenin tabanı diğer üçgenin tabanından daha büyüktür.
Kanıt
Bir ABC üçgeni ve bir DEF üçgeni verilsin. ∣AB∣=∣DE∣ ve ∣AC∣=∣DF∣ ama ∠BAC>∠DEF olsun.
Şimdi ∠BAC>∠EDF ise ∣BC∣>∣EF∣ önermesini kanıtlayalım. ∠BAC açısını D noktasına taşıyalım (23. önerme). Uç nokta G olsun. ∣AC∣=∣DF∣ ve ∣AC∣=∣DG∣ olduğu için üç uzunluk da birbirine eşittir (1. ortak kavram):
×∣DF∣=∣DG∣××××××x(5)
GE ve GF doğrularını çizelim (1. postulat). ∣AB∣=∣DE∣, ∣AC∣=∣DG∣ ve ∠BAC>∠EDG olduğu için ABC üçgeni, DEG üçgenine eşittir (4. önerme):
×∣BC∣=∣EG∣××××××x(6)
(5)'ten dolayı, EDG üçgeninde taban açıları eşittir (5. önerme):
×∠DFG=∠DGF××××××(7)
∠DFG, ∠EFG'nin bir parçası olup, ∠EFG>∠DFG'dir (5. ortak kavram). ∠EGF, ∠DGF'nin bir parçası olduğundan ∠DGF>∠EGF'dir (5. ortak kavram). O halde (7)'ten dolayı,
×∠EFG>∠DFG>∠EGFya da kısaca∠EFG>∠EGF
Buradan EFG üçgeninde, ∠EFG'nin gördüğü kenar, ∠EGF'nin gördüğü kenardan daha büyüktür (19. önerme):
×∣EG∣>∣EF∣
Şimdi (6)'dan dolayı,
×∣BC∣>∣EF∣
O halde ∠BAC>∠EDF ise ∣BC∣>∣EF∣ önermesi kanıtlanmıştır.
Kullanılan postulat, ortak kavram ve önermeler:
1. postulat: Bir noktadan her hangi bir noktaya doğru çizilebilir.
1. ortak kavram: Eşitler eşittir.
5. ortak kavram: Bütün, parçadan büyüktür.
3. önerme: Eşit olmayan iki doğru verilirse, daha büyük olandan daha küçük olana eşit bir sınırlı doğru ayrılabilir.
4. önerme: Kenar-açı-kenar eşitliği.
5. önerme: İkizkenar üçgende tabandaki açılar birbirine eşittir.
16. önerme: Herhangi bir üçgenin kenarları uzatıldığında dış açı, iç ve karşıt açıdan büyüktür.
19. önerme: Herhangi bir üçgende daha büyük açı daha büyük kenara karşılık gelir.
23. önerme: Verilmiş bir doğrunun verilmiş bir noktasında verilmiş bir açıya eşit açı çizmek.
Yardımlarından dolayı Yrd. Doç. Dr. Gülay İlona Telsiz Kayaoğlu'na teşekkür ederim.
- ANASAYFA
- DİL
-
MATH
- İngilizce
- Kırgızca
- MAT109
- MAT104
- MAT111
- MAT113
- MAT114
- MAT116
- MAT121
- MAT122
- MAT181
- MAT205
- MAT206
- MAT215
- MAT216
- MAT221
- MAT222
- MAT281
- MAT301
- MAT304
- MAT311
- MAT313
- MAT315
- MAT316
- MAT331
- MAT332
- MAT338
- MAT340
- MAT345
- MAT372
- MAT373
- MAT375
- MAT383
- MAT385
- MAT391
- MAT392
- MAT398
- MAT439
- MAT439
- MAT451
- MAT471
- MAT477
- MAT482
- MAT491
- MAT508
- GEOGRAPHY
- GÖRSELLER
- SEÇKİLER
- PROBLEMLER
- SAYFALAR
- KİTAPHANE
- ARŞİV
17 Kasım 2017 Cuma
Kaydol:
Kayıt Yorumları (Atom)
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder