(59) MAT313 Metrik Uzay Problemleri-Çözümlü

1. Reel sayılar üzerinde, d(x,y)=(x-y)² ile tanımlanan d metrik midir?


Çözüm



2.  Eğer bir küme reel sayıların bir alt kümesinde açık ise o zaman, reel sayılar kümesinde de açıktır. 

Çözüm


3. Rasyonel sayılar kümesi mutlak değer metriğine göre tam metrik uzaydır. 

Çözüm


4. Boş olmayan bir küme üzerinde sonsuz tane sınırlı metrik tanımlanabilir. (Uludağ AS)

Çözüm

5. $C[0,5]$ kümesi üzerinde,$$d_{\infty }(x^2-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->1,2x+3)=?$$(Uludağ AS)

Çözüm


6. Bir X metrik uzayının her sınırlı alt kümesi sonludur. (Uludağ AS)

Çözüm


7. $(X,d)$ bir metrik uzay olsun. Her $x,y\in <!--\; \in \; -->X$ için,$$\begin{gathered} e:X\times <!--\; \times \; -->X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}\text{ \\ (x,y)↦<!-- ↦ -->d(x,y)} \end{gathered}$$ile tanımlanan $e$ fonksiyonu $X$ üzerinde bir metriktir. (Sakarya, 2014 AS)

Çözüm


8. Reel sayılar üzerinde alışılmış metriğe göre sonlu elemanlı her küme kapalıdır. (Uludağ 2008 DS)

Çözüm


9. Bir metrik uzayda ters üçgen eşitsizliği geçerlidir.

Çözüm


10. Sonsuz çoklukta noktadan oluşan bir ayrık metrik uzayın kompakt olamayacağını gösteriniz.

Çözüm


11. ℝ²'de birim çember kompakttır.

Çözüm