Bölünebilme Teorisi

dralekhine

April 2020

Teoremler (İspatsız)

Teorem 1.

Eğer $a|b$ ve $b|c$ ise o zaman, $a|c$ ’dir.

Teorem 2.

Eğer $a$ ve $b$ sayılarından her birisi $c$ sayısına bölünürse o zaman, $a+b$ ve $a-b$ de $c$ sayısına bölünür.

Teorem 3.

Eğer tam sayılardan oluşan, $a_1+\mathrm{\cdots }+a_n=a_1+\mathrm{\cdots }+a_n$ cinsinden bir eşitlikte bir tanesi hariç geriye kalan terimlerin hepsi bir $c$ sayısına bölünürse o zaman, o hariç olan sayı da $c$ sayısına bölünür.

Sonuç 3.1.

Eğer $a$ ve $b$ tam sayıları bir $c$ tam sayısına bölünürse o zaman $x$ ve $y$’nin istenilen tam değerleri için $ax+by$ sayısı da $c$ sayısına bölünür.

Teorem 4.

Her $a\in \mathbb{Z}$ ve $b\in \mathbb{N}$ sayıları için, $a=b\cdot q+r$ şartını sağlayan $q$ ve olacak biçimde $r$ sabitleri vardır.

Teorem 5.

Eğer $b$ sayısı $a$’yı bölerse o zaman, $a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenlerinin kümesi yalnızca $b$ sayısının bölenlerinin kümesidir ve $(a,b)=b$’dir.

Teorem 6.

Eğer $a=b\cdot q+c$ ise o zaman, $a$ ve $b$ sayılarının ortak bölenleri kümesi $b$ ve $c$ sayılarının ortak bölenlerinin kümesi ile çakışır ve $(a,b)=(b,c)$ olur.

Teorem 7.

İki sayının ortak katlarının kümesi, onların $m$ en küçük ortak katının tam katlarından oluşan $m\cdot t$ kümesi ile çakışır.

Teorem 8.

İki sayının en küçük ortak katı, onların çarpımının en büyük ortak bölenine oranına eşittir.

Sonuç 8.1.

Aralarında asal olan sayıların en küçük ortak katı onların çarpımıdır.

Teorem 9.

Her $a>1$ tam sayısının en az bir asal böleni vardır.

Teorem 10.

Asal sayılar sonsuz elemanlı bir küme oluşturur.

Teorem 11.

Her $a>1$ doğal sayısının en büyük ortak böleni bir asal sayıdır.

Teorem 12.

Birleşik $a>0$ sayısının en büyük asal böleni $\sqrt{a}$ sayısından büyük değildir.

Teorem 13 (ATT).

Her doğal sayı kanonik biçimde gösterilebilir.

Teorem 14.

$m=1,2,\mathrm{\dots }$ için, $4m+3$ ve $6m+5$ şeklindeki asal sayılar sonsuz bir küme oluşturur.

Teorem 15.

$a>1$ ve $n>1$ olsun. Bu durumda,

(i) eğer $a^n-1$ asal sayı ise o zaman, $a=2$ ve $n$ asal sayıdır.

(ii) eğer $a^n+1$ asal sayı ise o zaman, $a$ çift sayıdır ve herhangi bir $k\ge 1$ için $n$, $2^k$ formundadır.

Sonuç 15.1.

Bir $x\in \mathbb{N}$ sayısının 2 sayısına bölünebilmesi için, onun ondalık sistemde yazılımının 0,2,4,6,8 rakamlarından birisi ile bitmesi gerekli ve yeterlidir.

Sonuç 15.2.

Bir $x\in \mathbb{N}$ sayısının 5 sayısına bölünebilmesi için, onun ondalık sistemde yazılımının 0 veya 5 rakamlarından birisi ile bitmesi gerekli ve yeterlidir.

Sonuç 15.3.

Bir $x\in \mathbb{N}$ sayısının 4 sayısına bölünebilmesi için, onun ondalık sistemde yazılımının son 2 rakamının oluşturduğu iki rakamlı sayının 4’e bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir.

Sonuç 15.4.

Bir $x\in \mathbb{N}$ sayısının 3 sayısına bölünebilmesi için, onun rakamları toplamının 3’e bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir (bu sonuç 9’a bölünme için de doğrudur).

Sonuç 15.5.

Bir $x\in \mathbb{N}$ sayısının bir,

$$p=a\cdot b\cdot c,(a,b,c)=1$$

sayısına bölünebilmesi için bu $x$’in $a,b,c$ sayılarının her birine ayrı ayrı bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir.

Sonuç 15.6.

Bir $x=a_0\cdot {10}^0+a_1\cdot {10}^1\mathrm{\cdots }\in \mathbb{N}$ sayısının 11 sayısına bölünebilmesi için $a_0-a_1+a_2-\mathrm{\cdots }+{(-1)}^n\cdot a_n$ sayısının 11’e bölünmesi için gerekli ve yeterlidir.

Lemma 16 (Bezout).

Her $a$ ve $b$ tam sayıları için, $(a,b)=p\cdot a+q\cdot b$ olacak biçimde $p$ ve $q$ tam sayıları vardır.

İNDİR

Generated on Wed Apr 1 13:05:21 2020 by LaTeXML