Toplama Problemlerinin Çözümleri

1. ${\displaystyle a,b\in \mathbb{N}\Rightarrow a+b\in \mathbb{N}}$ (kapalılık)

Çözüm

Toplama tanımından,
${\displaystyle s(A\cup B)\in \mathbb{N}}$

${\displaystyle \Rightarrow a+b\in \mathbb{N}}$


2. ${\displaystyle a,b,\in \mathbb{N}\Rightarrow a+b=b+a}$ (değişme)

Çözüm
${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$ eşitliğinden,

${\displaystyle s(A\cup B)=s(B\cup A)}$

${\displaystyle \Rightarrow a+b=b+a}$


3. ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb{N}\Rightarrow a+(b+c)=(a+b)+c}$ (birleşme)

Çözüm
${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C}$ eşitliğinden,

${\displaystyle s(A\cup (B\cup C))=s((A\cup B)\cup C)}$
${\displaystyle \Rightarrow a+(b+c)=(a+b)+c}$


4. Eğer bir eşitliğin iki yanına aynı sayı eklenirse, o zaman eşitlik bozulmaz.

Çözüm
${\displaystyle a,b,c\in \mathbb{N}}$ olmak üzere,

${\displaystyle a=b\Rightarrow a+c=b+c}$
önermesini kanıtlamak istiyoruz.

${\displaystyle A=B\Rightarrow A\cup C=B\cup C}$
gerektirmesinden dolayı,

${\displaystyle s\left(A\right)=s\left(B\right)\Rightarrow s(A\cup C)=s(B\cup C)}$

Sonuç olarak,
${\displaystyle a=b\Rightarrow a+c=b+c}$


5. Sıfır sayısı, toplama işlemine göre birim elemandır.

Çözüm
${\displaystyle a\in \mathbb{N}\Rightarrow a+0=0+a=a}$
olduğunu kanıtlamak isteriz.

${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
eşitliğinden,

${\displaystyle a+0=a}$


6. ${\displaystyle \mathbb{N}}$'de, ${\displaystyle a\ne 0}$ sayısının ters elemanı yoktur.

Çözüm
${\displaystyle a,b\in \mathbb{N},a\ne 0\Rightarrow a+b\ne 0}$
olduğunu kanıtlamak isteriz. ${\displaystyle a\ne 0}$ ise her ${\displaystyle B}$ kümesi için,

${\displaystyle A\cup B\ne \varnothing }$

dolayısıyla,
${\displaystyle a+b\ne 0}$