Kümeler Cebiri-Problemler

1. ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ boş olmayan iki küme olmak üzere,
${\displaystyle \times s(A\times B)=s\left(A\right)s\left(B\right)}$
olduğunu gösteriniz.

Çözüm
${\displaystyle I_{\mathrm{1 }}}$işlemi, ${\displaystyle A}$'dan bir eleman seçmek olsun. Bunu ${\displaystyle s\left(A\right)}$ yolla yapabiliriz. ${\displaystyle I_{\mathrm{2 }}}$işlemi, ${\displaystyle B}$'dan bir eleman seçmek olsun. Bunu ${\displaystyle s\left(B\right)}$ yolla yapabiliriz. ${\displaystyle A\times B}$'nin elemanlarını önce ${\displaystyle A}$'dan bir eleman seçip sonra ${\displaystyle B}$'den bir eleman seçerek oluşturduğumuza göre çarpım kuralı gereğince bu işi,
${\displaystyle \times s\left(A\right)s\left(B\right)}$
farklı yolla yapabiliriz.


2. ${\displaystyle A}$ ve ${\displaystyle B}$ kümeleri verilsin. ${\displaystyle A\cap B\subseteq A\cup B}$ olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm
${\displaystyle x\in A\cap B}$olduğunu varsayalım. O zaman,
${\displaystyle \times x\in A\cap B}$
${\displaystyle \Rightarrow x\in A\text{ve}x\in B}$ (kesişim tanımı)
${\displaystyle \Rightarrow x\in A}$ (mantıksal ve'nin tanımı)
${\displaystyle \Rightarrow x\in A\text{veya}x\in A}$ (mantıksal veya'nın tanımı)
${\displaystyle \Rightarrow x\in A\cup B}$ (birleşimin tanımı)


DAĞILMA ÖZELLİĞİ

3. ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ ve ${\displaystyle A}$ kümeleri verilsin. O zaman,
${\displaystyle A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C)}$
olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm
Aşağıdakiler doğrudur:
${\displaystyle A\cap (B\cup C)=\{x\mid x\in A\cap (B\cup C)\}}$
${\displaystyle \times \times \times \times =\{x\mid x\in A\text{ve}x\in B\cup C\}}$
${\displaystyle \times \times \times \times =\{x\mid x\in A\text{ve}(x\in B\text{veya}x\in C)\}}$
${\displaystyle \times \times \times =\left\{x\mid (x\in A\text{ve}x\in B)\text{veya}(x\in A\text{ve}x\in C)\right\}}$
${\displaystyle \times \times \times =\{x\mid x\in A\cap B\text{veya}x\in A\cap C\}}$
${\displaystyle \times \times \times =\{x\mid x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\}}$
${\displaystyle \times \times \times =\{x\mid x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)\}}$
${\displaystyle \times \times \times =(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

4. ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle Y}$ kümeleri verilsin. O zaman, ${\displaystyle X=Y}$ ancak ve ancak ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ve ${\displaystyle Y\subseteq X}$'dir.

Çözüm
Eğer ${\displaystyle X=Y}$ ise, o zaman tanımdan ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle Y}$ tam olarak aynı elemanlara sahiptirler. O halde ${\displaystyle x\in X}$ ise, o zaman ${\displaystyle x\in Y}$'dir. Ama bir alt küme tanımından bu ${\displaystyle X\subseteq Y}$ olduğunu söyler. Benzer şekilde, eğer ${\displaystyle x\in Y}$ ise, o zaman ${\displaystyle x\in X}$, o halde ${\displaystyle X\subseteq Y}$'dir. Şimdi tersi için, ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ve ${\displaystyle Y\subseteq X}$ varsayalım. Eğer ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ise, o zaman ${\displaystyle X}$'in her elemanı ${\displaystyle Y}$'dedir. Bu, ${\displaystyle X}$ ve ${\displaystyle Y}$'nin aynı elemanlara sahip olduğu anlamına gelir, o halde ${\displaystyle X=Y}$'dir.

5. Boşküme her kümenin altkümesidir.

Çözüm
Öyle bir $A$ kümesi olsun ki, boşküme o $A$ kümesinin altkümesi olmasın. Dolayısıyla $x\in \varnothing$ ve $x\notin A$ koşullarını sağlayan bir $x$ elemanı vardır. Boşküme tanımı gereğince, bu durum boş kümenin hiç elemanı olmaması ile çelişir. Çelişkinin nedeni, boşkümenin altkümesi olmadığı bir $A$ kümesini varsaymamızdır. Olmayana ergi yöntemiyle "boşküme her kümenin altkümesidir" önermesi kanıtlanmıştır.

6. Bir tane boşküme vardır.

Çözüm
İki tane boşküme olduğunu varsayalım. Bu boşkümelerden birine ${\varnothing }_1$, diğerine ${\varnothing }_2$  diyelim. Boşküme her kümenin altkümesi olduğu için ${\varnothing }_1\subseteq {\varnothing }_2$ ve ${\varnothing }_2\subseteq {\varnothing }_1$. Dolayısıyla ${\varnothing }_2={\varnothing }_1$.