(38) İki Negatif Sayının Çarpımı

Bir dil bilimci verdiği konferansta, çifte olumsuzlamanın bazı dillerde olumlama bazı dillerde olumsuzlama anlamı olduğunu anlatır. Dil bilimci "fakat çifte olumlama hiçbir dilde olumsuz bir anlam vermez" iddiasıyla devam edince, dinleyici sıralarından aynı üniversitede ders veren matematikçi arkadaşının sesi duyulur:

-Tabii tabii...


Matematikte de benzer bir konu var, zor kavranan kurallardan. İki negatif gerçel sayının çarpımı. Tanım mıdır? Hayır tanım değil -aşağıda vereceğim gibi- sonuçtur. Birçok öğretmen bunu tekerlemeye dönüştürerek kavratmaya çalışıyor: Dostumun dostu dostumdur, düşmanımın düşmanı yine dostumdur. Dost ve düşmanı mantıksal olarak çelişkisiz tanımlamak zordur. Dost dost diye nicesine sarıldıklarınız düşman çıkabilir. Beyhude dolanabilirsiniz pekala. O yüzden öğretmenlere iki negatif gerçel sayının çarpımını sağdan ve soldan dağılma aksiyomunun bir sonucu olarak ele almayı tavsiye ediyorum. İki negatif gerçel sayının çarpımı negatiftir önermesinin bir çok kanıtı var. Bu kanıtlardan birisi aşağıdaki gibi. Önce aksiyomları hatırlayalım.

                   Kaynak:Stephan Kulla

${\displaystyle ℝ}$'nin Bazı Aksiyomları

(i) ${\displaystyle ℝ}$ bir kümedir.

(ii) Her ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ için, ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$'dir.

(iii) Her ${\displaystyle a}$ için, ${\displaystyle a+0=0+a=a}$'dır.

(iv) Her ${\displaystyle a}$ için, ${\displaystyle a+b=b+a=0}$ eşitliklerini sağlayan bir ${\displaystyle b}$ vardır ve ${\displaystyle b=-a}$'dır.

(v) Her ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ ve ${\displaystyle c}$ için, ${\displaystyle ab\left(c\right)=a\left(bc\right)}$'dir.

(vi) Her ${\displaystyle a}$ için ${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$'dır.

(vii) ${\displaystyle 0\ne 1}$

(viii) Her ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ için ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$'dir.

Tanım

${\displaystyle ℝ}$'de ${\displaystyle a+(-b)}$ işlemine çıkarma denir ve,

${\displaystyle \times a-b}$

ile gösterilir.

İddia

İki negatif gerçel sayının çarpımı pozitiftir.

Kanıt

${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ pozitif olmak üzere, ${\displaystyle (-x)(-y)=xy}$ olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Önce bir sayının 0 ile çarpımı neye eşittir, onu araştırmamız gerekiyor. Birim eleman ve dağılma aksiyomuna göre aşağıdakiler vardır:

${\displaystyle \times (-1)(0+0)=(-1)0}$

${\displaystyle \Rightarrow (-1)0+(-1)0=(-1)0}$

Her taraftan fazlalığı çıkaralım. Yalnız çıkarma işlemini henüz toplamsal tersten (toplamaya göre ters) yararlanarak yapabildiğimizi unutmayalım. Aksiyomlarımız şimdilik daha fazlasına izin vermiyor. Dolayısıyla sol tarafta sıfır kalması için her tarafa (-1)0'in toplamsal tersini yazalım. Çıkarmanın tanımından,

${\displaystyle \times (-1)0+(-1)0-(-1)0=(-1)0-(-1)0}$

${\displaystyle \Rightarrow (-1)0+0=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (-1)0=0}$                                   (birim eleman)

Terslerin toplamını 0 olarak yazdığımız gibi, 0'ı da başka terslerin toplamı biçiminde yazabiliriz. Toplamsal tersten yararlanarak kısalttığımız eşitliği, şimdi tekrar toplamsal tersten yararlanarak genişletelim. Toplamaya göre 1 ve -1 birbirinin tersidir.

${\displaystyle \times (-1)\left((-1)+1\right)=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (-1)(-1)+(-1)1=0}$      (soldan dağılma aksiyomu)

Artık "iki eksi"yi çarpıp "artı" elde edecek kıvama geldi. Ama önce birim eleman özelliği ile,

${\displaystyle \times (-1)(-1)+(-1)=0}$      (1)

Yukarıda çıkarma ile yaptığımız sadeleştirmeyi bir de toplama ile yapmayı deneyelim. Bunun için önce eşitliğin sol tarafını kendisine eşitleyip her tarafa 1 ekleyelim.

${\displaystyle \times (-1)(-1)+(-1)+1=(-1)(-1)+(-1)+1}$

(1)'den dolayı,

${\displaystyle \times (-1)(-1)+(-1)+1=0+1}$

${\displaystyle \Rightarrow (-1)(-1)+(-1)+1=1}$      (birim eleman)

${\displaystyle \Rightarrow (-1)(-1)=1}$                     (2)

Nihayet! Şimdi 0 ile çarpmayı ${\displaystyle x\in {ℝ}^{>0}}$ ile genelleştirelim.

${\displaystyle \times (0+0)x=0x}$                                   (birim eleman)

${\displaystyle \Rightarrow 0x+0x=0x}$                                   (dağılma aksiyomu)

${\displaystyle \Rightarrow 0x+0x-0x=0x-0x}$               (toplamsal ters)

Dolayısıyla her ${\displaystyle x\in {ℝ}^{>0}}$ için aşağıdakiler doğrudur:

${\displaystyle \times 0x=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (1+(-1)x=0}$

Bir kez daha toplamsal ters. Bakalım bu önermeler zinciri nereye varmak istemektedir?

${\displaystyle \times 1x+(-1)x=0}$                                   (sağdan dağılma aksiyomu)

${\displaystyle \Rightarrow x+(-1)x=0}$                                   (birim eleman)

Toplama ile sadeleştirelim,

${\displaystyle \times x+(-1)x+(-x)=0+(-x)}$

${\displaystyle \Rightarrow x+(-x)+(-1)x=0+(-x)}$      (değişme aksiyomu)

Toplamsal ters biriciktir,

${\displaystyle \times (-1)x=-x}$                                   (3)

Benzer şekilde,

${\displaystyle \times (-1)y=-y}$                                   (4)

(2)'den dolayı,

${\displaystyle \times (-1)(-1)xy=1xy}$

${\displaystyle \Rightarrow (-1)x(-1)y=1xy}$                             (değişme aksiyomu)

(2) ve (3)'ten dolayı

${\displaystyle \times (-x)(-y)=1xy}$

${\displaystyle \Rightarrow (-x)(-y)=xy}$                                   (QED)

Sonuç olarak, iki negatif gerçel sayının çarpımı pozitiftir. Kanıtın kritik noktası, dağılma özelliği ile

${\displaystyle \times (-1)\times (-1)+(-1)\times 1=0}$

eşitliğininin elde edilmesidir.

Bir Takım Sonuçlar

Birleşme aksiyomu gereğince, ${\displaystyle n}$ bir sayma sayısı olmak üzere 2${\displaystyle n}$ tane negatif gerçel sayının çarpımının pozitif olduğu benzer şekilde gösterilebilir. İki rasyonel sayı aynı zamanda iki gerçel sayı olduğu için, iki negatif rasyonel sayının da çarpımı pozitiftir. Benzer şekilde, iki tam sayı aynı zamanda iki rasyonel sayı olduğu için, iki negatif tam sayının da çarpımı pozitiftir. Başka bir sonuç negatif gerçel sayının karesinin pozitif olduğudur. Ancak kare alma sonucu elde edilen sayı hem bir pozitif hem de bir negatif sayının karesi olacağından özellikle denklem çözümünde "kök kaybı" yaşamamak için bu sonucun göz ardı edilmemesi yerinde olur.

Dikkat edilmesi gereken diğer noktalar önermede mutlak değer geçip geçmediği ve önünde - olan değişkenin negatif olma zorunluluğu olmadığıdır. Bir diğer konu negatif üslü sayıların negatif veya pozitif olabileceğidir. Aynı tabanlı, negatif üslü iki sayının çarpımında üsler toplanır. Bu durumda iki negatif gerçel sayının toplamı negatif olacağından toplamın üssü öncelikle negatif olur, ancak taban değiştirilip çarpımsal ters (çarpmaya göre ters) alınırsa üs pozitif olur. Örneğin, ${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere,

${\displaystyle \times a^{-p}\times a^{-q}=a^{-p-q}}$

${\displaystyle \times \times \times \times \times ={\left(\frac{1}{a}\right)}^{p+q}}$


Alıştırmalar

(1) Her ${\displaystyle a}$ için, ${\displaystyle (-a)\times (-a)=a\times a}$

(2) ${\displaystyle ℝ}$'de, ${\displaystyle -(-a)=a}$'dır.

(3) ${\displaystyle a+b}$ sayısının toplamsal tersi ${\displaystyle -a-b}$'dir.

(4) ${\displaystyle a-b}$ sayısının toplamsal tersi ${\displaystyle b-a}$'dır.

(5) ${\displaystyle a\ne 0}$ için, eğer ${\displaystyle ax=a}$ ise, o zaman ${\displaystyle x=1}$'dir.

(6) Eğer ${\displaystyle a}$,${\displaystyle b\in ℝ}$ ise, o zaman ${\displaystyle a+x=b}$ olacak biçimde bir tek ${\displaystyle x\in ℝ}$ vardır ve ${\displaystyle x=b+(-a)}$'dır.

(7) ${\displaystyle a^2=a\times a}$ olmak üzere, her ${\displaystyle a\in ℝ}$ için,

${\displaystyle \times \times \times a^2\ge 0}$

(8) ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c\in ℝ}$ olmak üzere, ${\displaystyle a=b}$ eşitliği için,

${\displaystyle \times \times \times a+c=b+c}$

olması gerekli ve yeterlidir.

(9) ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c\in ℝ}$ olmak üzere, ${\displaystyle a+c\le b+c}$ olması için,

${\displaystyle \times \times \times a\le b}$

olması gerekli ve yeterlidir.

(10) ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c\in ℝ}$ olmak üzere, ${\displaystyle a-c>b-c}$ olması için,

${\displaystyle \times \times \times a>b}$

olması gerekli ve yeterlidir. Kanıtlayınız.

Alıştırmaların çözümleri için tıklayınız.

İleri Okumalar Tizimi

1. Kevin Houston, Matematikçi Gibi Düşünmek: Lisans Matematiği İçin Bir Kılavuz (Çeviri: Terziler-Öner)
2. Michael Spivak, Calculus
3. William R. Wade, An Introduction To Analysis
4. Ali Nesin, Analiz-1