Bölüm 1: TEMEL KAVRAMLAR

1.1. SI Birim Sistemi

Bu ders notlarında SI birim sistemi (The International System of Units) kullanılmaktadır.

Bu sistemde yedi temel büyüklük tanımlanmaktadır. Çizelge 1.1’de bizim yaygın olarak kullandığımız dört büyüklük, bunların simgeleri, SI birimleri ve bu birimlere ait kısaltmalar verilmektedir. Mühendislik işlemlerimizde kullandığımız tüm diğer birimler bu temel birimlerden türetilebilir.

Çizelge 1.1

Büyüklük	Simge	SI Birimi	Kısaltma
Uzunluk	L, l	Metre	m
Kütle	M,m	Kilogram	kg
Zaman	T, t	Saniye	s
Akım	I, i	Amper	A

Elektrik devrelerinde kullanılan temel büyüklükler ve onlara ilişkin simge, birim ve kısaltma bilgileri de Çizelge 1.2’de verilmektedir.

Çizelge 1-2

Büyüklük	Simge	SI Birimi	Kısaltma
Elektrik Yükü	Q, q	Coulomb	C
Elektrik Potansiyel	V, v	Volt	V
Direnç	R	Ohm	Ω
İletkenlik	G	Siemens	S
Endüktans	L	Henry	H
Kapasitans	C	Farad	F
Frekans	f	Hertz	Hz
Enerji	W, w	Joule	J
Güç	P, p	Watt	W
Manyetik Akı		Weber	Wb
Manyetik Akı Yoğunluğu	B	Tesla	T

Elektrik devrelerinde çok sık karşılaştığımız bir büyüklük açısal frekanstır. Açısal frekans w simgesi ile gösterilir ve birimi rad/s olarak kullanılır.

Uzunluk ve ağırlık ölçülerinde olduğu gibi elektriksel büyüklükler için de ön ekler kullanılır. Bu ekler Çizelge 1.3’te verilmektedir.

Çizelge 1.3

Ön ek	Çarpan	Simge
Piko	10^-12	p
Nano	10^-9	n
Mikro	10^-6	μ
Mili	10^-3	m
Santi	10^-2	c
Desi	10^-1	d
Kilo	10³	k
Mega	10⁶	M
Giga	10⁹	G
Tera	10¹²	T

Örneğin, 1 kilo volt; 1000 volt anlamına gelir ve 1 kV ile gösterilir. Benzer olarak, 1 mega hertz değerinde bir frekans, 1.000.000 Hz anlamına gelir ve 1 MHz ile gösterilir.

1.2. Temel Elektriksel Büyüklükler

Elektrik Yükü ve Akım
Gerilim
Enerji ve Güç
Elektrik Devrelerinde Enerjinin Sakınımı İlkesi

1.2.1. Elektrik Yükü ve Akım

Bir elektrik devresi, çeşitli elemanların birbirlerine bağlandığı bir yapıyı gösterir. Devre analizinde kullanılabilecek en temel elektriksel büyüklük elektrik yüküdür. Elektrik yüklerinin hareketi ile elektrik akımı oluşur. Elektrik akımını, bir iletken içinde hareket eden elektrik yükünün zamana göre değişim hızı olarak tanımlayabiliriz. Yani

(1.1)

Burada, i akımı, q ise yükü gösterir. Eş. 1.1, şu biçimde de ifade edilebilir: Elektrik akımı, belli bir kesitten birim zamanda geçen yük miktarıdır. Dolayısıyla, bir iletkenden 1 saniye içerisinde 1 Coulomb değerinde yük geçerse, o iletkenden akan akım 1 A olarak tanımlanır.

Elektrik devrelerinde akımın akacağı yollar genel olarak metalik iletkenlerden (bakır, alüminyum gibi) oluşturulur. Bilindiği üzere metal iletkenlerde akım elektron akışından kaynaklanır. Ancak, biz akımın artı yüklerin hareketinden kaynaklandığını kabul ederiz.

En yaygın kullanılan iletken olan bakırın atom yapısında, son yörüngede yalnızca bir elektron bulunur. Çekirdeğe gevşek olarak bağlanan bu elektron, kristal yapı içinde bir atomdan diğerine doğru hareket eder. Bir bakır iletkenin bir metre küpünde, serbestçe hareket edebilen elektron sayısı yaklaşık olarak 8.5 10²⁸’dir. Bir elektronun yükünün -1.602 10^-19 C olduğu düşünüldüğünde, 1 A değerinde bir akım için, belirli bir kesitten 1 saniye içinde 6.24 10¹⁸ elektronun geçmesi gerektiği anlaşılır.

Bir elektrik devresinde akım gösterilirken, akımın değerinin yanında yönünü de belirtmek gereklidir. Şekil 1.1’de bir elektrik devresinin bir bölümünden geçen 3 A değerinde bir akım ilkesel olarak gösterilmektedir. Şekil 1.1a’da, iletkenin içinde yukarıdan aşağıya doğru 3 A akmaktadır. Bir başka deyişle, bu iletkenden bir saniye içerisinde 3 C geçmektedir. Şekil 1.1b’de ise aynı akım ters yönde gösterilmiştir. Bu nedenle I = -3 A olarak belirtilmektedir.

Şekil 1.1

Örnek 1.1

Dairesel kesitli bir iletkenden 250 A akım akmaktadır. İletkenin kesit alanı 50 mm² olarak verilmiştir. İletkendeki serbest elektron yoğunluğu 10²⁹ elektron/m³ olduğuna göre bir elektronun ortalama hareket hızını bulunuz.

Çözüm

Bir elektronun yükü 1.6022 x 10^-19 C olduğuna göre, bu iletkenin 1 m³'ünde bulunan yük miktarını şu biçimde hesaplayabiliriz:

İletkenin kesiti 50 mm² olarak verilmiştir. Bu durumda iletkenin 1 m’sindeki yük miktarı

İletkenden akan akım, 1 saniyede bir kesitten geçen yük miktarı olduğuna göre:

Burada, v elektronların ortalama hızını göstermektedir. Dolayısıyla:

1.2.2. Gerilim

İçinden elektrik akımı akan bir iletkeni bir su borusuna benzetebiliriz. Bu durumda, borunun içinden geçen akımı da su akışına benzetebiliriz. Boruda suyun akmasını sağlayan güç, borunun iki ucu arasındaki basınç farkıdır. Bir iletkende akım akışını sağlayan da iletkenin iki ucu arasındaki elektriksel potansiyel farkıdır.

Nasıl ki bir kütleyi yerçekimine karşı hareket ettirmek için bir iş yapmak, yani enerji harcamak gerekiyorsa, bir elektrik yükünü bir elektrik alanına karşı hareket ettirmek için de bir iş yapmak gerekmektedir. Bu durum Şekil 1-2’de basitçe gösterilmektedir.

Şekil 1.2

Bir gerilim farkının etkisinde kalan elektriksel yük, karşı koyan bir başka kuvvet yoksa hızlanarak hareket eder. 1 C değerinde bir yükü belli bir A konumundan bir B konumuna hareket ettirebilmek için gerekli enerji miktarı 1 J ise, bu iki konum arasındaki potansiyel farkının yani gerilim farkının 1 V olduğu söylenir. Bir başka ifadeyle, B noktasının A ya göre gerilimi 1 V, veya A noktasının B’ye göre gerilimi -1 V’tur. Sıklıkla, belli bir noktanın potansiyelini sıfır olarak kabul ederiz. Örneğin A noktasının gerilimini 0 V olarak kabul edersek, B noktasının gerilimi de 1 V olur.

İki nokta arasındaki gerilim, bu iki noktadaki birer birim yükün enerji düzeyleri arasındaki farka eşit olduğundan, gerilimin birimini şu biçimde de tanımlayabiliriz:

1 V = 1 J / 1 C (1.2)

Bu ilişkiden yararlanarak, belli bir yükü belli bir enerjiyle hareket ettirdiğimizde ne kadarlık bir potansiyel farkı oluşturacağımızı veya belli bir yükü belli bir potansiyel farkı oluşturmak istersek ne kadarlık enerji harcamamız gerektiğini hesaplayabiliriz.

Aynı akım için olduğu gibi, gerilim için de hem değeri hem de yönü belirtmek gereklidir. Öncelikle gerilim iki nokta arasında tanımlanır. Bunun yanında bir de hangi noktanın diğerine göre daha pozitif olduğu belirtilir. Şekil 1.3’te bu durum gösterilmektedir.

Şekil 1.3

Şekil 1.3’te gösterilen devrenin A ve B uçları arasındaki gerilim farkı 5 V olarak tanımlanmıştır. Ancak, A noktasının potansiyeli B noktasına göre 5 V daha fazladır. Bu nedenle, Şekil 1.3a’daki gösterimde V = 5 V, Şekil 1.3b’deki gösterimde V = -5 V olarak belirtilmiştir.

Bir problem çözülürken başlangıçta hangi noktanın daha yüksek potansiyelde olduğu bilinmediğinden gerilimlerin yönü keyfi olarak seçilebilir. Örneğin, Şekil 1.3b’deki gibi alt uca (+) üst uca (-) işareti yerleştirilebilir. Bunun anlamı, alt ucun üst uca göre daha yüksek potansiyelde olacağının varsayılmasıdır. Ancak, yapılan analiz sonucunda alt ucun daha düşük potansiyelde olduğu ortaya çıkarsa bu durumda gerilim değerinin önüne (-) işareti konulur.

Eğer bir birim pozitif yük Şekil 1.3a’daki devrenin A noktasından girip, devre içerisinden geçerek B noktasına sürülürse, bu yük devreye enerji verir ve B noktasına ulaştığında enerjisi başlangıçtakine göre 5 J eksik olur. Eğer, bir birim pozitif yük Şekil 1.3a’daki devrenin B noktasından A noktasına sürülmek istenirse, bunun için devrenin yüke 5 J enerji vermesi gerekmektedir. Yani, yük A noktasına vardığında enerjisi 5 J artmış olur.

Örnek 1.2

Şekil Ö1.2’de verilen devrede b noktasından a noktasına doğru 10 C değerinde bir yük hareketi olmuştur. Bu hareket sonucu devre elemanına 100 J enerji verilmiştir. Elemanın uçları arasındaki gerilimi bulunuz.

Şekil Ö1.2

Çözüm

Ancak, devre elemanına yük girişi alt uçtan olduğuna ve bu akış sonucu elemana enerji verildiğine göre, eleman üzerindeki gerilim düşümünün belirtilen yöne ters olduğu anlaşılmaktadır. Dolayısıyla

V₁ = -10 V

1.2.3. Enerji ve Güç

Bir elektrik devresinde aralarında gerilim farkı olan iki uç arasında bir akım geçişi söz konusu olduğunda aynı zamanda bir enerji akışının olduğundan da söz ederiz. Şimdi bu konuyu örnek bir devre üzerinden inceleyelim.

Şekil 1.4’te, sistemlerimizi, örneğin bilgisayarımızı soğutmak amacıyla kullanabileceğimiz bir fan görülmektedir. Şekilde gösterilen devre şu bileşenlerden oluşmaktadır: (a) devremize enerji veren bir elektrokimyasal pil, (b) soğutma işlemini gerçekleştirecek bir fan, (c) istediğimiz zaman enerji alışverişini başlatmaya yarayan bir anahtar ve (d) bu elemanları birbirlerine bağlamakta kullanılan iletkenler.

Şekil 1.4

Anahtar kapatıldığında devre kapanmış olur ve yük akışı başlar. Pilin (+) ucundan çıkan yükler anahtardan geçip fan üzerinden yollarına devam ederek pilin eksi ucundan içeri girerek devreyi tamamlarlar. Akım fanın içerisinde yer alan sargılardan geçerken bu sargılarda bir kuvvet oluşur ve fanın pervanesi dönmeye başlar. Böylece fana verdiğimiz elektrik enerjisi mekanik enerjiye dönüşmüş olur. Dolayısıyla fana gelen yükler enerji kaybetmiş olur. Öte yandan, pilin içerisindeki kimyasal enerji de elektriksel enerjiye dönüşür ve pil içerisinden geçen yükler enerji kazanmış olur. Sonuçta, pilin içerisindeki kimyasal enerjiyi elektrik enerjisine, onu da mekanik enerjiye dönüştürmüş oluruz. Her iki dönüşüm sırasında da bir miktar enerji ısıya dönüşür, yani kaybolur.

Şimdi fan devresini Şekil 1.5’deki gibi yeniden çizelim. Bu çizimde devreden akan akım I ile gösterilmektedir. Fan enerji harcadığına göre, fandan çıkan yüklerin enerjisi girenlerden daha azdır. Yani, yükler fandan geçerken enerji kaybederler. Bu durum, şekilde gösterildiği gibi, fanın uçları arasında bir gerilimle ifade edilir. Pilden geçerken yüklerin enerji kazanması da pilin uçları arasında bir gerilimle gösterilir. Şimdi fanın ve pilin akım-gerilim ilişkisine bakalım: Fan enerji tüketmektedir. Akım, gerilimin artı olduğu uçtan girmektedir. Pilde ise akım artı uçtan çıkmaktadır. Bu da pilin enerji sağladığını göstermektedir.

Şekil 1.5

Bu durumu Şekil 1.6 üzerinden biraz daha yakından inceleyelim. Devrenin incelemek istediğimiz bölümü dışındaki parçalar şekilde bir kutu olarak gösterilmiştir. Şekil 1.6a’da, devrenin geri kalanı, A-B uçları üzerinden incelediğimiz elemana enerji vermektedir. Yani, devre bizim elemanımız için enerji kaynağıdır. A noktasından B noktasına doğru, elemanımız üzerinden 3 A, yani saniyede 3 C yük akmaktadır. Dolayısıyla elemanımız saniyede 15 J enerji almaktadır (çekmektedir). Bir eleman enerji alıyorsa, artı (pozitif) ucundan pozitif akım giriyor demektir. Şekil 1.6b’de elemanımız A-B uçları üzerinden soldaki devreye enerji vermektedir. Eleman dışarıya enerji sağlıyorsa pozitif akım eksi ucundan girer ve artı ucundan çıkar. Bu gösterimde bir yöndeki negatif akım ters yöndeki pozitif akıma eşittir. Benzer olarak bir yöndeki negatif gerilimle ters yöndeki pozitif gerilim de birbirlerine eşittir.

Şekil 1.6 (a) Enerji alma (çekme) ve (b) enerji verme durumlarında gerilim-akım ilişkileri

Gerilim 1 C değerinde pozitif bir yükü bir eleman içerisinde hareket ettirmek için gerekli enerji miktarını ifade ettiğine göre diferansiyel miktarda (dq) yükü gerilim farkı v olacak biçimde hareket ettirmek için verilmesi gereken dw enerjisi şu biçimde hesaplanabilir:

dw = v dq (1.3)

Eşitliğin her iki tarafının zamana göre türevini alalım:

dw/dt = v dq / dt (1.4)

Soldaki terim enerjinin türevini, yani birim zamandaki enerji değişimini, gücü göstermektedir. Eşitliğin sağ yanındaki dq/dt terimi de akımı tanımladığı için ifade yeniden düzenlenebilir:

p = dw / dt = v i (1.5)

Bu ifadede gücün birimi saniyedeki joul miktarı veya watt (W) olarak ifade edilir. Hem gerilim (v) hem de akım (i) zamanla değiştiğinden güç de zamanla değişen bir büyüklüktür. Dolayısıyla enerjinin herhangi bir t1 anı ile t2 anı arasındaki değişim miktarı, Eşitlik (1.5)’in integrali alınarak bulunur ve birimi Joule’dür. Günlük hayatta Watt-saat (W-h) birimi de enerji için yaygın olarak kullanılır.

(1.6)

Şimdi, işaretleme yöntemimizi özetleyelim. İşaretleri belirlemek için akım ve gerilimler Şekil 1.7’de gösterildiği gibi tanımlanmalıdır. Bir elemanın uçları arasındaki gerilimi gösteren v(t), akımın elemana girdiği noktada pozitif olarak tanımlanır. Bu yöntem, pasif işaretleme yöntemi olarak adlandırılır. Bundan böyle bütün tanımlamalarımızda bu yöntem kullanılacaktır. v gerilimi ile i akımının işaretleri de göz önüne alınarak elde edilen çarpım gücün genliğini ve işaretini belirler. Sonuç pozitif ise eleman dışarıdan güç alıyor demektir. Sonuç negatif ise, bu durumda da eleman dışarıya güç veriyor demektir.

Şekil 1.7

Örnek 1.3

Şekil 1.3’te gösterilen dört devre için verilen akım ve gerilim değerlerini kullanarak, devre elemanının güç mü aldığını yoksa güç mü verdiğini belirleyiniz.

Şekil Ö1.3a

Şekil Ö1.3b

Şekil Ö1.3c

Şekil Ö1.3d

Çözüm

Şekil Ö1.3’deki devrelerde elemanın akım ve gerilimleri yönleriyle birlikte gösterilmektedir. Bir büyüklüğün değerinin eksi işaretli olması, o büyüklüğün gerçek yönünün, belirtilenin tersi olduğu anlamına gelir.

Bir elemana verilen güç için, pasif işaretleme yöntemini kullanarak şu bağıntı yazılır:

P = I V

Bu soruyu çözerken şöyle bir yol izleyeceğiz: Akımın elemana hangi uçtan girdiğine bakacağız. Eğer akım, gerilimin daha pozitif olduğu uçtan giriyorsa o elemana güç veriliyor, eksi olduğu uçtan giriyorsa, o eleman dışarıya güç veriyor demektir.

Şimdi, Şekil Ö1.3’deki devreler için güç değerlerini hesaplayalım:

a) P = (5A)(4V) = 20 W: Güç pozitif çıktığından, elemana güç verilmektedir.
b) P = (-5A)(4V) = -20 W: Akım elemanın eksi ucundan girmektedir. Güç negatif çıktığından, eleman dışarıya güç verilmektedir.
c) P = (5A)(4V) = 20 W: Akım eksi işaretli olduğundan gerçek yönü, b’den a’ya doğrudur. Dolayısıyla akım elemanın artı ucundan girmektedir. Güç pozitif çıktığından, elemana güç verilmektedir.
d) P = (-5A)(4V) = -20 W: Akım eksi işaretli olduğundan gerçek yönü, b’den a’ya doğrudur. Dolayısıyla akım elemanın eksi ucundan girmektedir. Güç negatif çıktığından, eleman dışarıya güç verilmektedir.

Örnek 1.4

Şekil Ö1.4’te verilen devrede değeri belli olmayan büyüklüklerin değerlerini belirleyiniz.

Şekil Ö1.4a

Şekil Ö1.4b

Çözüm

Şekil 1.4a’daki devrede elemana 10 W güç verilmektedir. O halde akımın elemana artı uçtan girmesi gereklidir. Oysa şekildeki akım elemanın eksi ucundan giriyor görünmektedir. Dolayısıyla gerçek gerilim ters yönde olmalıdır:

Şekil 1.4b’deki devrede eleman dışarıya 8 W güç verilmektedir. O halde akımın elemana eksi uçtan girmesi gereklidir. Oysa şekildeki akım elemanın artı ucundan giriyor görünmektedir. Ancak, gerilim zaten ters işaretli verildiğinden, gerçek gerilimin yönü ters olduğundan akım elemana doğru uçtan giriyor demektir. Dolayısıyla:

1.2.4. Elektrik Devrelerinde Enerjinin Sakınımı İlkesi

Elektrik devreleri enerjinin sakınımı ilkesine uygun davranır. Bunu iki biçimde ifade edebiliriz:

(a) Bir elektrik devresinde, devreye enerji sağlayan elemanların verdiği güçlerin toplamı, devrede enerji tüketen elemanların aldığı güçlerin toplamına eşittir.

(b) Bir elektrik devresinde bütün elemanlar tarafından alınan (çekilen) toplam güç değeri sıfırdır. İlke bu biçimde ifade edildiğinde, devreye enerji veren elemanların verdiği güçler negatif, enerji tüketen elemanların aldığı güçler pozitif olarak hesaplanır.

1.3. Devre Elemanları

Bu kısımda, elektrik devrelerinde kullanılan çeşitli elemanlar tanımlanacaktır. Bu elemanları kabaca pasif ve aktif elemanlar olarak iki bölüme ayırabiliriz. Devrelere enerji sağlayan elemanlar kaynak olarak adlandırılır ve bu elemanlar, enerji sağlama özelliklerinden dolayı aktif elemanlar olarak sınıflandırılır. Pasif elemanlar ise kendileri enerji üretemeyen elemanlardır. Dirençler, kondansatörler ve indüktörler bu sınıfa girerler.

1.3.1 Kaynaklar

Kaynaklar değişik açılardan sınıflara ayrılabilir: İşlevleri açısından bir kaynak gerilim kaynağı veya akım kaynağı olarak sınıflandırılabilir. Kaynaklar, sağladıkları akım veya gerilimin şekline göre doğru akım (DA) veya alternatif akım (AA) kaynağı olarak da sınıflandırılabilir. Biz incelememize bağımlı ve bağımsız kaynakları tanımlayarak başlayacağız.

Bir kaynak uç karakteristiği ile tanımlanabilir. Uç karakteristiği, bir elemanın uçları arasındaki gerilimle uçlardan akan akımın ilişkisini gösterir. Şekil 1.8’de iki tane uç karakteristiği gösterilmektedir.

Şekil 1.8a

Şekil 1.8b

Şekil 1.8 Bağımsız kaynakların uç karakteristikleri: (a) gerilim kaynağı, (b) akım kaynağı

Şekil 1.8’de gösterilen karakteristikler bağımsız kaynaklara aittir. Şekil 1.8a’da verilen bağımsız gerilim kaynağı karakteristiği, kaynağın uçları arasındaki gerilimin, tüm dış etkenlerden bağımsız olarak sabit olduğunu göstermektedir. Kaynaktan çekilen akım ne olursa olsun bu gerilim değişmemektedir. Şekil 1.8b’de verilen bağımsız akım kaynağı karakteristiği de, kaynağın uçlarından akan akımın, tüm dış etkenlerden bağımsız olarak sabit olduğunu göstermektedir. Kaynağın uçları arasındaki gerilim ne olursa olsun bu gerilim değişmemektedir.

Bağımsız gerilim kaynaklarına örnek olarak aküleri, pilleri gösterebiliriz. Ancak bu ifade, kaynaklar ideal olarak kabul edildiklerinde geçerlidir. Gerçekte kaynaktan akım çekilince gerilimde bir miktar düşme olur. Bu kitapta, aksi belirtilmediği sürece, kaynaklar ideal olarak kabul edilecektir.

Bağımsız akım kaynağı ise pratikte kendiliğinden var olan bir eleman değildir. Ancak bazı düzenlemelerle, kaynaklardan sabit akım çekilebilir.

Bağımsız kaynaklar için Şekil 1.9’da gösterilen simgeler kullanılır. Bağımsız kaynak için kullanılan çemberin içine yerleştirilen + ve – işaretleri kaynağın sağladığı gerilimin yönünü gösterir. Bağımsız akım kaynağı için kullanılan çemberin içine yerleştirilen okun yönü de kaynağın verdiği akımın yönünü gösterir.

Şekil 1.9 Bağımsız kaynakların simgeleri (a) gerilim kaynağı, (b) akım kaynağı

Örnek 1.5

Şekil Ö1.5’te verilen devrede her bir elemanın aldığı veya verdiği gücü hesaplayınız ve gücün sakınımı ilkesinin işlediğini gösteriniz.

Şekil Ö1.5

Çözüm

Devrede her bir elemandan geçen akım ve elemanın uçları arasındaki gerilim, yönleriyle birlikte verilmektedir. Buna göre:

5A güç kaynağı: Bu akım kaynağının akımı artı ucundan çıkmaktadır. Dolayısıyla

P_5A = (-5A) x 9V = -45 W

Yani eleman devreye güç vermektedir.

1 numaralı eleman: Bu elemanın akımı gerilimin artı ucundan girmektedir.

P₁ = 3A x 6V = 18 W

Dolayısıyla eleman güç almaktadır.

2 numaralı eleman: Bu elemanın akımı gerilimin artı ucundan girmektedir.

P₂ = 3A x 3V = 9 W

Dolayısıyla eleman güç almaktadır.

3 numaralı eleman: Bu elemanın akımı gerilimin artı ucundan girmektedir.

P₃ = 2A x 2V = 4 W

Dolayısıyla eleman güç almaktadır.

7V’luk gerilim kaynağı: Bu elemanın akım elemana artı uçtan girmektedir.

P_7V = 2A x 7V = 14 W

Dolayısıyla bu bir kaynak olduğu halde dışarıdan güç almaktadır.

Devrede, deveye güç veren yalnızca bir eleman vardır. 5A’lik akım kaynağı devreye 45 W güç vermektedir.

P_verilen = 45 W

Devredeki diğer dört eleman ise güç almaktadırlar. Bu elemanların aldığı toplam gücü hesaplayalım:

P_alınan = 18W + 9W + 4W + 14W = 45W

Dolayısıyla verilen güç alınan güce eşittir. Yani güç dengesi korunmuştur.

Bu işlemi şöyle de yapabiliriz.

P_net = 45W - 18W - 9W - 4W - 14W = 0

Örnek 1.6

Şekil Ö1.6’daki devrede gücün sakınımı ilkesinden yola çıkarak 1 numaralı elemanın gerilimini bulunuz.

Şekil Ö1.6

Çözüm

20 V’luk gerilim kaynağı:

P_20V = (-1A) x 20V = -20W : Bu kaynak devreye 20 W vermektedir.

2 ve 3 numaralı elemanların her ikisinde de akım artı uçtan girmektedir.

P₂ = 4A x 4V = 16W
P₃ = 4A x 8V = 32W

Her iki eleman da devreden güç almaktadırlar.

3A’lik kaynak: Akım elemanın artı ucundan çıkmaktadır.

P_3A = (-3A) x 12V = -36W : Bu kaynak devreye 36 W vermektedir.

Devremizde iki eleman, gerilim ve akım kaynakları, devreye güç vermektedir. Devreye verilen toplam güç:

P_verilen = 20W + 36W = 56W

Elemanların çektiği toplam güç ise P_alınan = 16W + 32W = 48W olmaktadır.

Dolayısıyla verilen güç alınan güçten fazladır. O halde 1 aradaki güç 1 numaralı elemana gitmelidir.

P₁ = 56W - 48W = 8W

1 numaralı elemanın akımı artı uçtan girdiğinden:

1 numaralı elemanın gerilimi şekilde belirtilen yönde 4 V’tur.

Bağımlı kaynaklar, bağımsız kaynaklar gibi kendiliklerinden enerji üretemezler. Devrenin bir başka noktasındaki akım veya gerilime bağlı olarak akım veya gerilim ürettikleri kabul edilir. Aslında bu kaynaklar gerçekte var olmayan, ancak çeşitli sistemleri modellemek için kullanılan elemanlardır. Örneğin elektronik devrelerde yaygın olarak kullanılan tranzistörlerin içyapısı incelendiğinde, bu elemanın iki giriş ucu arasından akan akıma bağlı olarak diğer iki ucu arasında da bir akım oluştuğu görülür. Bu devrelerin analizini yapabilmek için bu fiziksel olgu bir bağımlı kaynakla modellenir. Dolayısıyla bağımlı kaynaklar devre analizi için çok önemlidir.

Bağımlı kaynaklara denetimli kaynak adı da verilir. Dört türlü bağımlı kaynak vardır. Bu kaynaklar Çizelge 1.4’te sıralanmaktadır.

Çizelge 1.4

Kaynak Türü	Denetim parametresi	Çıkış büyüklüğü
Gerilim Bağımlı Gerilim Kaynağı	Gerilim	Gerilim
Akım Bağımlı Gerilim Kaynağı	Akım	Gerilim
Gerilim Bağımlı Akım Kaynağı	Gerilim	Akım
Akım Bağımlı Akım Kaynağı	Akım	Akım

Bağımlı kaynakları simgelemek için bir baklava dilimi kullanılır. Kaynak akım üretiyorsa içine akımın pozitif yönün gösteren bir ok, gerilim üretiyorsa içerisine gerilimin yönelimini gösteren +/- işaretleri yerleştirilir. Simgenin yanına da kaynağın bağımlı olduğu değişkenle olan ilişkisi yazılır. Simgeler ve devre içinde kullanımı Şekil 1.10’da gösterilmektedir.

Şekil 1.10a

Şekil 1.10b

Şekil 1.10c

Şekil 1.10d

Şekil 1.10 Bağımlı kaynaklar

Şekil 1.10a’da gösterilen gerilim bağımlı gerilim kaynağı, A-B uçları arasına, devrenin bir başka bölümünde, a-b uçları arasındaki v_ab gerilimine bağlı olarak değişen bir gerilim uygular. Burada v_AB gerilimi kontrol değişkeni olarak adlandırılır. Burada μ çarpanı iki gerilim arasındaki ilişkiyi gösterdiğinden birimsizdir.

v_AB = μ v_ab (1.7)

Şekil 1-10b’de gösterilen akım bağımlı gerilim kaynağı, C-D uçları arasına, devrenin bir başka bölümünde, c-d uçları arasında akan i_cd akımına bağlı olarak değişen bir gerilim uygular. Burada i_cdakımı kontrol değişkeni olarak adlandırılır. İfadedeki r çarpanı bir akımla gerilim arasındaki ilişkiyi gösterdiğinden ohm birimine sahiptir.

v_CD = r i_cd (1.8)

Şekil 1-10c’de gösterilen gerilim bağımlı akım kaynağı, E-F uçları arasından, devrenin bir başka bölümünde, e-f uçları arasındaki v_ef gerilimine bağlı olarak değişen bir akım akıtır. Burada v_ef gerilimi kontrol değişkeni olarak adlandırılır. İfadedeki g çarpanı bir gerilimle akım arasındaki ilişkiyi gösterdiğinden iletkenlik birimi olan siemens birimine sahiptir.

i_EF = g v_ef (1.9)

Şekil 1-10d’de gösterilen akım bağımlı akım kaynağı, G-H uçları arasından, devrenin bir başka bölümünde, g-h uçları arasında akan i_gh akımına bağlı olarak değişen bir akım akıtır. Burada i_gh akımı kontrol değişkeni olarak adlandırılır. İfadedeki β çarpanı iki akım arasındaki ilişkiyi gösterdiğinden birimsizdir.

i_GH = β i_gh (1.10)

Örnek 1.7

Şekil Ö1.7’de gösterilen devrede güç dengesinin sağlandığını gösteriniz.

Şekil Ö1.7

Çözüm

10 V’luk gerilim kaynağı:

P_10V = (-8A) X 10V = -80W : Bu kaynak devreye 80 W vermektedir.

1, 2, 3 ve 4 numaralı elemanların her birinde akım artı uçtan girmektedir.

P₁ = 3A X 6V = 18W
P₂ = 5A X 4V = 20W
P₃ = 2A X 2V = 4W
P₄ = 5A X 4V = 20W

Bu dört eleman devreden güç almaktadırlar.

Bağımlı kaynak: Akım elemanın artı ucundan girmektedir. Bağımlı kaynağın gerilimi I_x akımına bağlıdır. I_x = 3 A olduğuna göre, bağımlı kaynağın gerilimi 2I_x = 6 V olur. Bu elemana verilen gücü hesaplayalım:

P_bk = (3A) X 6 = 18 W : Bu değer artı çıktığından dolayı, bağımlı kaynağa gerçekten de güç verilmektedir.

Devremizde yalnızca bağımsız gerilim kaynağı devreye güç vermektedir. Devreye verilen toplam güç P_verilen = 80 W olmaktadır.

Diğer tüm elemanlar güç çekmektedirler. Çekilen toplam gücü bulalım:

P_alınan = 18W + 20W + 4W + 20W +18W = 80W

Dolayısıyla verilen güç alınan güce eşittir ve gücün korunumun olduğu görülmektedir.

1.3.2. Dirençler

Direnç en temel pasif devre elemanıdır. Birimi ohm (Ω) olarak ifade edilir. Şekil 1.11’de bir direnç için kullanılan simge gösterilmektedir.

Şekil 1.11

Her ne kadar iletkenleri ideal kabul etsek de, tüm iletkenlerin aslında mükemmel olmadığını, elektron akışına karşı bir direnç gösterdiği bilinmektedir. Kesiti A, boyu olan bir iletkenin direnci şu biçimde tanımlanır:

(1.10)

Bu ifadede ρ malzemenin öz direncini (ohm-m), σ ise öz iletkenliğini (siemens/m veya mho/m) gösterir. Devre elemanlarını birbirine bağlamak için veya enerjiyi bir yerden başka bir yere aktarmak için kullandığımız tüm iletkenlerin belli bir direnci bulunur ve bu direnç değeri sıcaklıkla da değişir.

R(T) = R(T₀)[1 + ɑ(T - T₀)] (1.11)

Burada,

T ve T₀, direnç değerlerinin hesaplandığı sıcaklık derecelerini (K veya °C)

R(T) ve R(T₀), T ve T₀ sıcaklıklarındaki direnç değerlerini,

ɑ ise malzemenin sıcaklık katsayısını (1/K veya 1/°C) gösterir.

Çok kullanılan iki iletken malzeme için çeşitli parametreler Çizelge 1-4’te verilmektedir.

Çizelge 1-4

Malzeme	(ohm-m) (20°C için)	(siemens/m) (20°C için)	(1/K) Sıcaklık katsayısı
Bakır	1.68 10^-8	5.96 10^-7	0.003862
Alüminyum	2.82 10^-8	3.50 10^-7	0.0039

Elektrik devrelerinde genel olarak standart direnç ve güç değerleri için karbon temelli kompozit malzemelerden veya direnç tellerinin sarılmasıyla üretilen dirençler kullanılır. Pek çok elektronik devrede 250 mW güce dayanabilen dirençler üretilir. Daha yüksek güçlerde kullanılacak elemanların üzerinde hangi güce dayanabilecekleri özellikle belirtilir.

Dirençlerin değerleri genellikle üzerlerindeki renkli şeritlerden anlaşılır. Şeritlerin renklerinin tanımladığı rakamlar yardımıyla hem direncin değeri hem de tolerans değeri belirlenir.

Dirençler ve direnç devreleriyle ilgili ayrıntılı bilgi daha sonraki bölümlerde verilecektir.

Örnek 1.8

Kesiti 10 mm² olan bir bakır iletkenin 20°C’de ölçülen direnci 1.68 Ω ölçülmüştür.

a) İletkenin uzunluğunu hesaplayınız.
b) İletkenin 50°C’de direncinin ne olacağını hesaplayınız.

Çözüm

a) bağıntısında bakır için ρ = 1.68 10^-8Ω değerini kullanırsak iletkenin boyu

olarak hesaplanır.

b) İletkenin 50°C’deki direncini bulmak için R(T) = R(T₀)[1 + ɑ(T - T₀)] bağıntısı kullanılmalıdır. Bakır için ɑ = 0.003862 olduğundan:

1.3.3 Kondansatör ve Endüktans

Kondansatör ve endüktans elemanları enerji depolama özelliğine sahip pasif devre elemanlarıdır. Bu elemanlar da elektronik devrelerinde sıklıkla kullanılır.

Kondansatörler, iki iletken plaka arasına dielektrik bir malzeme yerleştirilerek üretilir. Endüktör ise basitçe bir iletken sargıya dönüştürülerek elde edilir. Bu iki elemanla ilgili ayrıntılı bilgi ilerleyen bölümlerde verilecektir.

1.4. Akım ve Gerilimin Zamana Göre Değişimleri

Daha önce de belirtildiği gibi akım ve gerilimlerin zamanla değişimleri genel olarak iki türlü olabilir. Doğru Akım (DA) olarak adlandırılan akım ve gerilimler, sabit değerlidirler ve zamanla değişmezler. Piller, aküler, güneş pilleri bu türden gerilimler ve akımlar üretirler. Bu kaynaklardan beslenen devrelerde de doğal olarak tüm akım ve gerilimler sabit değerli olur. Şekil 1.12’de örnek bir DA gerilim gösterilmektedir.

Şekil 1.12

Alternatif akım (AA) durumunda ise akım ve gerilimler değişken olurlar. Bu değişim çok farklı şekillerde olabilir ancak en yaygın karşılaşılan değişim biçimi Şekil 1.13a’da verilen sinüzoidal değişimdir. Evlerimizde ve sanayide kullandığımız gerilimler sinüs şeklindedir. Ancak bazı özel uygulamalarda Şekil 1.13b’de görülen kare dalga akım ve gerilimlerle veya daha farklı biçimlerle de karşılaşılabilir.

Şekil 1.13a

Şekil 1.13b

1.5. Değişkenlerin Gösterimi

Elektriksel büyüklükler (akım, gerilim, güç) küçük veya büyük harfle gösterilebilir. Anlık değişimler küçük harfle gösterilir. Örneğin v(t) gerilimi, zamana göre değişen herhangi bir fonksiyona sahip olabilir. Bazı örnekler aşağıda yazılmıştır.

Büyük harfler ise bir akım veya gerilimin ortalama değerini veya etkin değerini göstermek için kullanılır. Bu kavramlar ilerleyen bölümlerde anlatılacaktır. DA akım ve gerilimlerde anlık değerler ve ortalama değerler birbirine eşit olduğundan, bu akım ve gerilimler için de büyük harf kullanılabilir.

Örnek 1.9

Şekil Ö1.9a’da bir iletkenden geçen yük miktarının değişimi gösterilmektedir. Bu iletkenden geçen akımın değişimini elde ediniz.

Şekil Ö1.9a

Şekil Ö1.9b

Çözüm

Akım, iletkenden geçen yük miktarının zamana göre değişim hızı, yani türevi olarak tanımlanır. Şekilde gösterilen yük değişimi altı zaman dilimi halinde incelenebilir.
Bu dilimlerden üç tanesinde (2., 4. Ve 6. Dilimler) yük değişimi olmamaktadır. Dolayısıyla bu dilimler için olduğundan i(t) = 0 olur.

Diğer dilimlerde yük artmakta veya azalmaktadır. Her bir dilim için değişim hızını ayrı ayrı hesaplayalım.

Akımın değişimi Şekil Ö19b’de verilmektedir.

Örnek 1.10

Örnek 1.9’da gösterilen akım, 12 V gerilimli bir bataryayı doldurmak için kullanılmıştır. Belirtilen süre sonunda bataryaya aktarılan enerji ne kadardır?

Çözüm

Bir önceki örnekte akımın yalnızca 1-5 s, 15-17s ve 19-20 s aralıklarında aktığını görmüştük. Gerilim sürekli 12 V olduğuna göre;

1-5 saniye arasında bataryaya verilen enerji: 12V x 1A x 5s = 60 joule

11-17 saniye arasında bataryaya verilen enerji: 12V x (-5)A x 2s = -120 joule (Bu aralıkta bataryadan enerji çekilmiştir).

19-20 saniye arasında bataryaya verilen enerji: 12V x 5A x 1s = 60 joule

Sonuçta, bataryaya 120 joule enerji verilmekte, ancak bir aralıkta da 120 joule geri alınmaktadır. Dolayısıyla bataryaya verilen toplam enerji sıfırdır.

Değerlendirme Soruları

Bölüm 2: DİRENÇ DEVRELERİ

2.1. Ohm Yasası

Ohm yasası elektrik devrelerinin analizinde kullanılan en temel yasadır. Bu yasa ile ifade edilen ilişkiyi ilk kez Alman fizikçi Georg Simon Ohm ortaya çıkardığı için yasa Ohm Yasası olarak adlandırılır.

Ohm yasası, bir direncin içinden geçen akımın, uçları arasına uygulanan gerilimle orantılı olduğunu, bu sabit orantının da elemanın direnç değerine eşit olduğunu belirtir. Şekil 2.1a’da bir direncin akım-gerilim karakteristiği verilmektedir. Bu karakteristik, dirence uygulanan gerilim arttıkça akımın da aynı oranda arttığını, gerilim ters yöne dönünce akımın da ters yöne döndüğünü göstermektedir. Eğrinin eğimi, direncin değerinin tersine (1/R) eşittir. Eğer karakteristik Şekil 2.1b’deki gibi, yatay eksende akım olacak biçimde çizilirse, bu kez eğim direncin değerine (R) eşit olur.

Şekil 2.1a

Şekil 2.1b

Şekil 2.1c

Elektriksel karakteristiği omik (rezistif) olan devre elemanı direnç olarak adlandırılır ve Şekil 2.1c’de verilen sembol ile gösterilir. Direnç, elektronik parça satıcılarında belirli standart değerlerde satın alınabilecek bir elemandır. Çeşitli elektriksel uygulamalarda kullanılan bu dirençler, genellikle karbon temelli kompozit malzemelerdir veya direnç tellerinin sarılmasıyla elde edilir. Ayrıca dirençler kalın oksit veya ince metal filmler kullanılarak hibrit devrelerde kullanılmak için üretilebilir, veya yarıiletken entegre devrelere yayılı olabilirler. Bazı tipik dirençler Şekil 2.1b’de gösterilmektedir.

Ohm yasası için matematiksel ilişki şu biçimde tanımlanır:

v = R i (2.1)

Burada,

v, direncin uçları arasındaki gerilimin anlık değerini
i, dirençten geçen akımın anlık değerini
R, direncin değerini gösterir.

Bu ifadeden yola çıkarak, bir direncin uçları arasındaki gerilim ve içinden geçen akım değeri biliniyorsa, direncin değeri de hesaplanabilir.

R = v / i (2.2)

Dolayısıyla, içinden 1 A geçen bir direnç elemanının uçları arasındaki gerilim 1 V ise, bu direncin değeri 1 Ω olarak belirlenir.

1 Ω = 1 V / 1 A (2.3)

Örnek 2.1

Şekil Ö2.1’de bir direncin akım-gerilim karakteristiği gösterilmektedir. Bu direncin değerini hesaplayınız.

Şekil Ö2.1

Çözüm

Şekilde gösterilen doğrunun eğimi olarak hesaplanır. Dolayısıyla direncin değeri 5Ω’dur.

2.1.1. Ohm Yasası Yardımıyla Dirençte Harcanan Gücün ve Enerjinin Bulunması

Şimdi, uçları arasına v(t) gerilimi uygulanan bir dirence verilen gücü hesaplayalım. Bu gerilime karşı dirençten i(t) akımı akıyor olsun. Bu durumda dirence verilen anlık güç

p(t) = v(t) i(t) = v(t) (v(t) / R) = v²(t) / R = R i²(t) (2.4)

biçiminde elde edilir. Görüldüğü gibi, uygulanan gerilim ne türden olursa olsun ve hangi yönde uygulanırsa uygulansın, dirence verilen güç pozitif olur. Yani direnç, her zaman dışardan güç alır. Direnç, dışarıdan aldığı bu gücü ısıya dönüştürerek tüketir. Tüketilen bu güç, uygulanan gerilim veya içinden akan akımın karesiyle orantılıdır.

Direncin herhangi bir t₁ anı ile t₂ anı arasında aldığı enerjiyi hesaplamak içinse, alınan gücün integralini almak gereklidir.

(2.5)

Bu bağıntılar, direnç yerine, direncin tersine eşit olan iletkenlik kavramı G = 1 / R kullanılarak da yazılabilir.

p(t) = v(t) i(t) = v(t) (G X v(t)) = G v²(t) = i²(t) / G (2.6)

(2.7)

Örnek 2.2

Bir direncin değeri 10Ω olarak verilmektedir. Dirençten akan akım 5 A olduğuna göre;

Direncin tükettiği gücü,
5 saat sonunda dirençte harcanan enerjiyi hesaplayınız.

Çözüm

p(t) = R i²(t) = 10 X 25 = 250W Direnç 250 W güç harcamaktadır.
W = P X t = 250W X 5h = 1250 Wh. Dirençte harcanan enerji 1250 Wh veya olur.

2.1.2. Açık ve Kısa Devre Kavramları

Dirençler sabit değerli veya ayarlanabilir yapıda üretilebilir. Şekil 2.2a’da, ayarlanabilir dirençler için kullanılan simge, Şekil 2.2b’de ise ayarlanabilir dirençlerin yapısı ilkesel olarak gösterilmektedir. Direncin üzerine yerleştirilen ok, bir ayar ucu aracılığıyla direncin değerinin değiştirilebileceğini göstermektedir.

Şekil 2.2

Şekil 2.2b’de (a) ile (b) uçları arasında değeri sabit olan (R_sabit) bir direnç bağlıdır. (a) ile (c) uçları arasında ölçülen R direnci ise değişken olur. Bu yapı reosta olarak adlandırılır.

(c) ucunun bağlı olduğu kayar uç direnç üzerinde hareket ettirerek farklı değerler elde edilebilir. Kayar uç (a) ucuna getirildiğine (a) ve (c) uçları kısa devre edilmiş olur. İki uç birbirine temas etmiş olduğundan aradaki direnç sıfır olmaktadır. Dolayısıyla kısa devre durumu R = 0 anlamına gelmektedir.

Ohm yasası (v = R i ) gereği, sıfır direnç sıfır gerilim anlamına gelmektedir. Yani, kısa devre edilmiş bir eleman üzerinden akan akım ne kadar büyük olursa olsun, gerilim sıfırdır. Öte yandan, yine ohm yasası gereği bir gerilim kaynağının kısa devre edilmemesi gereklidir. Eğer v gerilimi üreten bir gerilim kaynağının uçları kısa devre edilir, yani uçlarına R = 0 direnci bağlanırsa, içinden geçen akım teorik olarak sonsuz olacağından, yani çok büyük akımlar akacağından, hem kaynak hem de direnç bu durumda tahrip olur. Kısa devre ile ilgili çizimler Şekil 2.3’te verilmektedir.

Şekil 2.3

Şekil 2.2’de gösterilen direncin (c) ucuna bağlı olan kayar uç (b) noktasına getirildiğinde, (c) ve (a) uçları arasındaki direnç toplam direnç olur (R = R_toplam). Bu durumda, bu direncin uçları arasına bir V gerilimi bağlanırsa dirençten akan akım

i = v / R_toplam (2.8)

Şekil 2.2’de gösterilen yapıda direnç R = 0 ile R = R_toplam arasında değişmektedir. Bu direncin uçlarına bir v gerilimi uygulanırsa, dirençten akacak akım, direnç büyüdükçe azalacaktır. R_toplam direnci ne kadar büyük seçilirse akım o kadar küçük olacaktır. Akımın erişebileceği en küçük değer sıfırdır. Bu da ancak R_toplam = ∞ olursa mümkün olur. Akımın sıfır olması, yani akım akmaması ancak iletkenin kesilmesi, yani bağlantının açılması durumunda söz konusudur. Bundan dolayı R = ∞ durumuna açık devre adı verilir. Açık devre durumu Şekil 2.4’te gösterilmektedir.

Şekil 2.4

Özetleyecek olursak;

Bir direncin veya devrenin iki ucunu birleştirirsek onu kısa devre etmiş oluruz. Kısa devre edilmiş uçlardan (R = 0) çok büyük akımlar akabilir ancak gerilim hep sıfır olur.

Bir direncin veya devrenin iki ucu arasını açık bırakırsak (R = ∞), bu iki uç arasındaki gerilim ne olursa olsun, bir akım geçişi söz konusu olmaz.

2.2. Dal, Düğüm, Göz ve Çevre Kavramları

Devreler çok sayıda elemanın bir araya getirilmesiyle oluşurlar. Bu bağlantılar da dalların, düğümlerin ve gözlerin ortaya çıkmasına neden olurlar.

Tanımlarımıza önce “dal” tanımı ile başlayalım. Bazı kaynaklarda dal yerine “kol” kavramı da kullanılabilir. Her iki isim de aynı amaçla kullanılır.

İki ucu olan herhangi bir devre parçası “dal (kol)” olarak adlandırılır. Bir dal üzerinde bir veya daha fazla sayıda eleman yer alabilir. Şekil 2.5’te çeşitli dal örnekleri verilmektedir.

Şekil 2.5

İki veya daha fazla dalın birbirine bağlandığı noktaya “düğüm” adı verilir. Eğer bir düğüme yalnızca iki eleman bağlanmışsa bu düğüm “basit düğüm” olarak adlandırılır. Şekil 2.6’da çeşitli düğüm yapıları gösterilmektedir.

Şekil 2.6

Bir düğüme bağlanan elemanların akımları düğüme doğru veya tersine olabilir. Bunu su borularının bağlantısı gibi düşünebiliriz. Şekil 2.6a’da bir basit düğüm gösterilmektedir. 1 numaralı elemandan gelen akım 2 numaralı elemandan geçerek yoluna devam etmektedir. Bunu, birbirine eklenen iki su borusundan aynı suyun geçmesine benzetebiliriz.

Şekil 2.6b’de beş elemanın bağlandığı normal bir düğüm gösterilmektedir. Şekil 2.6c’de örnek bir devre üzerinde çeşitli düğümler işaretlenmiştir. Bu düğümlerin bir tanesi (3. Düğüm) basit bir düğüm, diğerleri normal düğümdür.

Burada bir noktaya dikkat etmek gerekmektedir. İki veya daha fazla elemanın birbirine bağlandığı düğüm, çizim yaparken geniş bir alana yayılabilir. Örneğin Şekil 2.6c’de gösterilen devre ile Şekil 2.6d’de gösterilen devre tamamen aynıdır. Yalnızca ilkinde düğümler yayılı çizilmiş, ikincisinde ise tek bir noktaya toplanmıştır. Şekil 2.6c’deki alt çizginin tamamı tek bir düğümdür. İlk gösterimin genel olarak tercih edilmesinin nedeni görsel etkiyi ve anlaşılırlığı arttırmaktır.

Devre elemanlarından oluşan dallar, kapalı bir yol oluşturacak biçimde de birbirlerine bağlanabilirler. Şekil 2.7’de iki gerilim kaynağı ve iki dirençten oluşan basit bir yapı gösterilmektedir. Bu basit yapı “göz” olarak adlandırılır.

Şekil 2.7

Şekil 2.7’de verilen göz yapısında dört tane düğüm vardır. (a) düğümünden sağa doğru hareket edip, (b), (c) ve (d) düğümlerinden geri dönerek tekrar (a) düğümüne gelmekle oluşturulan yol bir göz olarak tanımlanmaktadır. Bu göz oluşturulurken bir düğümden yalnızca bir kez geçilmektedir.

Hemen hemen tüm elektrik devreleri birden fazla göz içerirler. Şekil 2.8’de iki gözlü örnek bir devre gösterilmektedir.

Şekil 2.8

Şekil 2.8’de gösterilen devrede iki tane gözün yanında bir de çevre işaretlenmiştir. “Çevre” de bir göz gibi, dalların kapalı bir yol oluşturacak biçimde bir araya getirilmesiyle oluşur. Ancak, bir çevre, içerisinde gözler barındırabilirken, bir göz, içerisinde başka bir göz veya çevre barındıramaz. Şekil 2.8’deki devrede Göz 1 ve Göz 2 aynı zamanda birer çevredir. Ancak, a-b-c-a düğümlerini içeren kapalı yol yalnızca bir çevredir ve 1. ve 2. gözleri de içermektedir. Dolayısıyla bir göz, başka hiçbir gözü içermeyen bir çevredir.

Örnek 2.3

Şekil Ö2.3a’da gösterilen devrede (a) kaç tane basit düğüm olduğunu, (b) kaç tane düğüm olduğunu, (c) kaç tane dal olduğunu ve (d) kaç tane göz olduğunu belirleyiniz.

Şekil Ö2.3a	Şekil Ö2.3b
Şekil Ö2.3c	Şekil Ö2.3d

Çözüm

a-b) Devredeki tüm düğümler Şekil Ö2.3b’de gösterilmektedir. Devrede toplam 8 tane düğüm bulunmaktadır. Bunların 3 tanesi basit düğüm, 5 tanesi de normal düğümdür. Basit düğümler kırmızı renkli, normal düğümler ise mavi renkli olarak işaretlenmiştir.

c) Devrede 11 tane dal bulunmaktadır. Her bir elemanı bir dal olarak kabul edebiliriz. Dallar Şekil Ö2.3c’de kesikli çizgiler içine alınarak işaretlenmiştir.

d) Devrede dört tane göz bulunmaktadır. Gözler Şekil Ö2.3d’de gösterilmektedir.

2.3. Kirşof (Kirchhoff) Yasaları

Şimdi, devre analizinde ohm yasası ile birlikte tüm problemlerin çözümünde kullanacağımız en temel yasaları tanımaya başlayacağız.

Şekil 2.6b’de gösterilen devrede bir düğüme bağlanan 5 tane eleman gösterilmektedir. Bu elemanlardan iki tanesinin (1 ve 2) akımı düğüme doğru akmakta, üç tanesinin (3, 4 ve 5) akımı ise düğümden dışarı doğru akmaktadır. Bu elemanları yine su boruları gibi düşünecek olursak 1 ve 2 numaralı yollardan bağlantı noktasına gelen toplam su, diğer üç yola dağılmaktadır. Gelen ve çıkan miktarların birbirine eşit olması gerektiği noktasından hareketle şu bağıntıyı yazabiliriz:

i₁(t) + i₂(t) = i₃(t) + i₄(t) + i₅(t) (2.9)

Bu ifadede tüm terimleri aynı tarafa da toplayabiliriz:

i₁(t) + i₂(t) - i₃(t) - i₄(t) - i₅(t) = 0 (2.10)

Son ifadeyi şu biçimde genelleştirebiliriz:

(2.11)

Bu ifade “Kirşof’un Akım Yasası (KAY)” olarak adlandırılır. Bu yasaya göre, bir düğüme giren akımların cebirsel toplamı sıfırdır. Cebirsel toplama yapılırken, düğüme giren akımları artı, düğümden çıkan akımları eksi işaretli olarak alırız.

“Kirşof’un Gerilim Yasası (KGY)”, kapalı bir yol üzerinde hareket ederken gerilimlerin cebirsel toplamının sıfır olduğunu ifade eder.

Bir yol üzerinde hareket ederken bazı elemanlar devreye enerji vermekte, bazıları ise enerji almaktadır. Dolayısıyla KGY’yi, kapalı yol üzerindeki toplam gerilim artışı ile toplam gerilim düşümü eşittir biçiminde de ifade edebiliriz.

Şekil 2.7’deki devrede (a) noktasından başlayıp yeniden (a) noktasına gelene kadar karşılaşılan dört eleman için KGY şu biçimde ifade edilebilir:

-v₁(t) + v_R1(t) + v₂(t) + v_R2(t) = 0 (2.12)

Bu ifadede, göz içerisinde gösterilen yönde hareket ederken (-) ucundan girilen elemanların gerilimleri (-), (+) ucundan girilen elemanların gerilimleri (+) alınmıştır. İfade şu biçimde de yazılabilir:

v₁(t) - v₂(t) = v_R1(t) + v_R2(t) (2.13)

Burada ise, belirtilen yönde dolaşırken karşılaşılan kaynaklarla diğer elemanlar, eşitliğin farklı taraflarına toplanmıştır. Ancak 1 numaralı kaynağın (-) ucundan girilip (+) ucundan çıkıldığı için bu elemanın devreye enerji verdiği kabul edilirken, 2. Kaynağın (+) ucundan girildiği için bu elemanın enerji aldığı kabul edilmektedir ve dolayısıyla 2. Kaynağın geriliminin önüne (-) işareti yerleştirilmektedir.

(2.13) denkleminin sağ yanında ise, kapalı yol üzerinde ilerlerken karşılaşılan iki direncin gerilim düşümlerinin toplamı bulunmaktadır. Her iki eleman için tanımlanan gerilim düşümleri hareket yoluyla çakıştığından toplam gerilim düşümü, gerilim düşümlerinin toplamına eşit olmaktadır.

KGY’nin genel ifadesi aşağıda verilmiştir.

(2.14)

Şekil 2.9’da daha karmaşık bir devre yapısı verilmektedir. Bu devrede tüm gerilim ve akımlar işaretlenmiştir. Akımlar için belirlenen yönler keyfi olarak seçilmiştir. Dirençlerin gerilimleri ise, içerilerinden akan akımların yönüne göre belirlenmiştir.

Şekil 2.9

Şekil 2.9’da dört tane düğüm bulunmaktadır. Basit düğümler işlemlerimizde herhangi bir kolaylık sağlamadığı için yalnızca normal düğümler göz önüne alınmıştır. Bu dört düğüm için KAY denklemleri şu biçimde yazılabilir:

1 düğümü için:          i₁(t) - i₂(t) - i₃(t) = 0                 (2.15)
2 düğümü için:          i₃(t) + i₄(t) + i₅(t) = 0                (2.16)
3 düğümü için:          i₂(t) - i₄(t) - i₆(t) = 0                  (2.17)
4 düğümü için:          -i₁(t) - i₅(t) + i₆(t) = 0             (2.18)

Görüldüğü gibi dört düğüm için dört tane KAY denklemi yazılmıştır. Ancak bu, elimizde birbirinden bağımsız dört tane eşitlik olduğu anlamına gelmez. Örneğin, (2.15), (2.16) ve (2.17) eşitliklerini taraf tarafa toplayıp (-1) ile çarparsak, (2.18) eşitliğini elde ederiz. O halde, elimizde yalnızca üç tane bağımsız denklem vardır. Bu durumu şöyle genelleştirebiliriz.

“n” düğümlü bir devrede “n-1” adet bağımsız KAY denklemi yazılabilir.

Şimdi Şekil 2.9’daki gözleri inceleyelim. Devrede üç tane göz bulunmaktadır. Bu gözler aşağıda listelenmektedir.

1. göz: v₁(t) gerilim kaynağı, R₁, R₂, v₄(t) gerilim kaynağı ve R₆.

2. göz: v₂(t) gerilim kaynağı, R₃, R₄, R₂.

3. göz: v₃(t) gerilim kaynağı, R₅, v₄(t) gerilim kaynağı, R₄.

Bu gözler için KGY denklemleri şu biçimde yazılabilir:

1. göz: -v₁(t) + v_R1 + v_R2 + v₄(t) + v_R6 = 0

2. göz: -v₂(t) + v_R3 + v_R4 - v_R2= 0

3. göz: v₃(t) + v_R5 - v₄(t) - v_R4= 0

Görüldüğü gibi, üç tane göz için üç tane bağımsız KGY denklemi yazılabilmektedir. Bu durumu genelleştirebiliriz.

“m” tane göz içeren bir devre için “m” tane bağımsız KGY denklemi yazılabilir.

Bu devredeki üç tane göze ek olarak dört tane de çevre yazabiliriz:

1. çevre: v₁(t) gerilim kaynağı, R₁, v₂(t) gerilim kaynağı, R₃, R₄, v₄(t) gerilim kaynağı, R₆.
2. çevre: v₁(t) gerilim kaynağı, R₁, R₂, R₄, v₃(t) gerilim kaynağı, R₅, R₆.
3. çevre: v₁(t) gerilim kaynağı, R₁, v₂(t) gerilim kaynağı, R₃, v₃(t) gerilim kaynağı, R₅, R₆.
4. çevre: v₂(t) gerilim kaynağı, R₃, v₃(t) gerilim kaynağı, R₅, v₄(t) gerilim kaynağı, R₂.

Belirtilen çevreler Şekil 2.10’da gösterilmektedir. Bu çevrelerin her biri için KGY denklemleri yazılabilir. Ancak bu dört denklemin tümü bağımsız değildir.

Şekil 2.10

Eşitliklerimizi yazarken kullanabileceğimiz bir başka notasyon da çift indisli gösterimdir. Örneğin Şekil 2.11’de gösterilen elemanın gerilimi için aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz:

v_ab(t) = v /R(t) = R i(t)

Şekil 2.11

Çift indisli gösterimde, ilk indisin işaret ettiği noktadaki gerilimin ikinci indisini işaret ettiği noktanın gerilimine göre daha pozitif olduğu varsayılır.

2.4. Elemanların Seri ve Paralel Bağlantıları

Dirençlerin Seri Bağlantısı
Dirençlerin Paralel Bağlantısı
Gerilim Kaynaklarının Seri Bağlanması
Gerilim Kaynaklarının Paralel Bağlanması
Akım Kaynaklarının Paralel Bağlanması
Akım Kaynaklarının Seri Bağlanması

2.4.1. Dirençlerin Seri Bağlantısı

Şekil 2.12a’da birbirine seri bağlanmış üç tane direnç gösterilmektedir. İki elemanın seri bağlanması, birer uçlarının ortak bağlanması ile sağlanır. Seri bağlantıda bir elemandan geçen akımın tamamı diğer elemandan da geçer.

Şekil 2.12

Şekil 2.12a’da verilen seri bağlantının tümünün gerilimi v_ad olarak adlandırılmıştır. Bu bağlantıya KGY uygulanırsa:

v_ad = v_ab + v_bc + v_cd (2.19)

Bağlantıdaki her bir eleman için ohm yasasını uygulayalım:

v_ab = R₁ i(t) (2.20a)

v_bc = R₂ i(t) (2.20b)

v_cd = R₃ i(t) (2.20c)

Eş. 2.20, Eş. 219’da yerine yazılırsa:

v_ad = R₁ i(t) + R₂ i(t) + R₃ i(t) (2.21)

Akım tüm terimlerde ortak olduğundan:

v_ad = (R₁ + R₂ + R₃) i(t) (2.21)

Bu bağıntıyı

v_ad = R_eş i(t) (2.22)

biçiminde yeniden yazabiliriz. Burada

R_eş = R₁ + R₂ + R₃ (2.24)

olmaktadır. Yani, seri bağlı üç tane direncin yerine, değeri bu dirençlerin toplamına eşit, eşdeğer bir direnç yerleştirilebilmektedir. Seri bağlı n adet direnç için eşdeğer direnç şu biçimde ifade edilebilir:

R_eş = R₁ + R₂ + . . . + R_n (2.25)

Eşdeğer direncin kullanıldığı devre Şekil 2.12b’de gösterilmektedir.

2.4.2. Dirençlerin Paralel Bağlantısı

Şekil 2.13a’da birbirine paralel bağlanmış üç tane direnç gösterilmektedir. İki elemanın paralel bağlanması, ikişer uçlarının karşılıklı olarak birbirine bağlanması ile sağlanır. Paralel bağlantıda her bir elemana uygulanan gerilimlerle, elemanlara tek tek uygulanan gerilim aynıdır.

Şekil 2.13

Şekil 2.13a’da verilen paralel bağlantıya uygulanan gerilim v_ab(t) olup, her üç eleman için de bu gerilim aynıdır. Ancak, (a) düğümüne gelen i(t) akımı, üç eleman arasında paylaşılmaktadır. (a) düğümüne KAY uygulanırsa:

i(t) = i₁(t) + i₂(t) + i₃(t) (2.26)

Bağlantıdaki her bir eleman için ohm yasasını uygulayalım:

i₁(t) = v_ab(t) / R₁                (2.27a)
i₂(t) = v_ab(t) / R₂                (2.27b)
i₃(t) = v_ab(t) / R₃                (2.27c)

Eş. 2.27, Eş. 2.26’da yerine yazılırsa:

i(t) =v_ab(t) / R₁ + v_ab(t) / R₂ + v_ab(t) / R₃ (2.28)

Gerilim tüm terimlerde ortak olduğundan:

i(t) = v_ab(t)(1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃) (2.29)

Bu bağıntıyı

i(t) = v_ab(t) / R_eş (2.30)

biçiminde yeniden yazabiliriz. Burada

1 / R_eş = 1 / R₁ + 1 / R₂ + 1 / R₃ (2.31)

olmaktadır. Yani, paralel bağlı üç tane direncin yerine eşdeğer bir direnç yerleştirilmektedir. Eşdeğer direncin tersi, dirençlerin terslerinin toplamına eşit olmaktadır. Ya da, eşdeğer direncin iletkenliği, her bir elemanın iletkenliklerinin toplamına eşit olmaktadır.

g_eş = g₁ + g₂ + g₃ (2.32)

Paralel bağlı n adet direnç için eşdeğer direnç şu biçimde ifade edilebilir:

(2.33)

Eşdeğer direncin kullanıldığı devre Şekil 2.13b’de gösterilmektedir.

Sadece iki direncin paralel bağlanması durumunda eşdeğer direnç isin basit bir bağıntı elde edilir.

R₁ // R₂ = R₁R₂ / (R₁+ R₂)

Bu ifadedeki “//” simgesi, paralelliği göstermek için kullanılır ve birlikte kullanıldığı dirençlerin paralel eşdeğerini ifade eder.

Örnek 2.4

Şekil Ö2.4’te görülen devredeki paralel dirençlerin eşdeğerini hesaplayınız.

Şekil Ö2.4

Çözüm

2.4.3. Gerilim Kaynaklarının Seri Bağlanması

Şekil 2.14a’da, (a) düğümü ile (b) düğümü arasında birbirine seri olarak bağlanmış n adet gerilim kaynağı gösterilmektedir. Bu kaynakların her birinden aynı i(t) akımı geçmektedir. Aynı seri dirençler için uygulanan yöntemle gösterilebilir ki, bu kaynakların yerine, değeri tüm kaynakların gerilim değerlerinin cebirsel toplamına eşit tek bir eşdeğer kaynak yerleştirilebilir. Bu durum Şekil 2.14b’de gösterilmektedir.

Şekil 2.14

v_ab(t) = v₁(t) + v₂(t) + . . . + v_n(t) = v_eş(t) (2.34)

Eş. 2.34 yazılırken, kaynakların yönlerine dikkat edilmesi gerekmektedir. (a) noktasından (b) noktasına doğru ilerlerken (+) ucundan girdiğimiz kaynakların işaretini (+), (-) ucundan girdiğimiz kaynakların işaretini (-) almamız gereklidir.

Örnek 2.5

Şekil Ö2.5’te gösterilen devrede üç tane kaynak seri bağlanmıştır. Eşdeğer kaynağın gerilimini bulunuz.

Şekil Ö2.5

Çözüm

Kaynakların bir tanesi diğerlerinin tersi yöndedir. Dolayısıyla eşdeğer kaynağın gerilimi

v_eş(t) = 10 - 2 + 4 = 12V

olarak bulunur.

2.4.4. Gerilim Kaynaklarının Paralel Bağlanması

İki gerilim kaynağı ancak ve ancak kaynaklar birbirine eşit gerilimlere sahipse (v₁(t) = v₂(t)) paralel olarak bağlanabilir. Aksi takdirde kaynaklar birbirine paralel bağlanamaz. Paralel bağlantının mümkün olması durumunda, toplam akım kaynaklar arasında paylaşılır.

2.4.5. Akım Kaynaklarının Paralel Bağlanması

Şekil 2.15a’da, (a) düğümü ile (b) düğümü arasında birbirlerine paralel olarak bağlanmış n adet akım kaynağı gösterilmektedir. Bu kaynakların her birinin uçları arasında aynı v_ab(t) gerilimi görülmektedir. Aynı paralel dirençler için uygulanan yöntemle gösterilebilir ki, bu kaynakların yerine, değeri tüm kaynakların akım değerlerinin cebirsel toplamına eşit tek bir eşdeğer kaynak yerleştirilebilir. Bu durum Şekil 2.15b’de gösterilmektedir.

Şekil 2.15

i(t) = i₁(t) + i₂(t) + . . . + i_n(t) = i_eş(t) (2.35)

Eş. 2.35 yazılırken, kaynakların yönlerine dikkat edilmesi gerekmektedir. i(t) ile aynı yönde olan kaynakların işaretini (+), ters yöndeki kaynakların işaretini (-) almamız gereklidir.

Örnek 2.6

Şekil Ö2.6’daki devredeki paralel bağlı akım kaynaklarının eşdeğerini hesaplayınız.

Şekil Ö2.6

Çözüm

Akım kaynaklarının iki tanesi yukarıdan aşağıya doğru, iki tanesi aşağıdan yukarıya doğru akım akıtmaktadır. Yukarıya doğru olanları artı, aşağıya doğru olanları eksi alırsak:

i_eş(t) = 5 -12 + 14 - 9 = -2A

Dolayısıyla eşdeğer kaynağın akımı yukarıdan aşağıya doğru akmaktadır.

2.4.6. Akım Kaynaklarının Seri Bağlanması

İki akım kaynağı ancak ve ancak kaynaklar birbirine eşit akımlara sahipse (i₁(t) = i₂(t)) seri olarak bağlanabilir. Aksi takdirde kaynaklar seri bağlanamaz. Seri bağlantının mümkün olması durumunda, toplam gerilim kaynaklar arasında paylaşılır.

2.5. Gerilim Bölücü

Gerilim bölüşüm ilkesi devre analizinde çok kullanışlıdır. Şekil 2.16’da, bir v_s(t) gerilim kaynağı ile seri bağlanmış iki tane direnç görülmektedir. Bu devrede gerilim kaynağının gerilimi iki direnç arasında bölüşülmektedir.

Şekil 2.16

Bu devrede R₂ direncinin üzerindeki gerilimi ohm yasası kullanılarak yazılabilir.

v_R2(t) = R₂i(t) (2.36)

Devrede iki direnç seri olarak bağlandığından, devreden akan akım v_s(t) gerilimi eşdeğer dirence bölünerek hesaplanabilir:

i(t) = v_s(t) / R_eş (2.37)

Burada : R_eş = R₁ + R₂

Eş. (2.37), Eş. (2.36) içinde kullanılırsa;

v_R2(t) = R₂ x v_s(t) / R_eş (2.38)

yazılabilir. Eşdeğer direnç ifadesi yerine konulursa bağıntı şu hali alır:

(2.39)

Aynı ilke kullanılarak v_R1(t) gerilimi de hesaplanabilir:

(2.40)

Eş. (2.39) ve (2.40) “Gerilim Bölücü” bağıntısı olarak adlandırılır. Şekil 2.16’daki gibi bir bağlantı görüldüğünde, başka hiçbir ara işlem yapmadan bir elemanın gerilimi hesaplanabilir. Bunun için o elemanın direnci, seri bağlı dirençlerin toplam değerine bölünür ve bu oran girişe uygulanan gerilimle çarpılır.

Gerilim bölücü devresi elektrik devrelerinde ölçüm yapmak anacıyla yaygın olarak kullanılır.

Örnek 2.7

Çalışması için 12 V gerilime ihtiyaç duyan bir cihaz için elimizde bulunan 48V’luk bir gerilim kaynağını kullanmalıyız. Cihazın gereksinim duyduğu gerilimi üretebilecek bir gerilim bölücü devresi tasarlayınız.

Çözüm

Şekil Ö2.7

Bu işlem için Şekil Ö2.7’de gösterilen devre kullanılabilir. Bu devrede

olduğundan, dirençler için aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

Bu problemi çözmek için R₁ için bir değer seçip R₂ değerini hesaplayabiliriz. Aşağıda çeşitli seçimler sıralanmıştır.

R₁	R₂
33 kΩ	11 kΩ
330 kΩ	110 kΩ
3.3 MΩ	1.1 MΩ

Bu çizelgedeki tüm direnç çiftleri amacı gerçekleştirmek için uygundur. Ancak, dirençlerin değeri küçük olduğunda ölçülecek devreden daha fazla akım çekileceği için (güç kaybı) mümkün olduğunda daha yüksek bir direnç kullanmakta fayda vardır. Dolayısıyla en uygun seçim 3.3 MΩ – 1.1 MΩ çiftidir.

2.6. Akım Bölücü

Akım bölüşüm ilkesi de devre analizinde çok kullanışlıdır. Şekil 2.17’de, bir i_s(t) akım kaynağı ile paralel bağlanmış iki tane direnç görülmektedir. Bu devrede akım kaynağının akımı iki direnç arasında bölüşülmektedir.

Şekil 2.17

Bu devrede R₂ direncinin içinden geçen akım ohm yasası kullanılarak yazılabilir.

i_R2(t) = v(t) / R₂ (2.41)

Devrede iki direnç paralel olarak bağlandığından, bu iki direncin üzerindeki gerilimi hesaplamak için eşdeğer direnç ile kaynak akımı çarpılır.

v(t) = R_eş i_s(t) (2.42)

Eş. (2.42), Eş. (2.41) içinde kullanılırsa;

i_R2(t) = R_eş X i_s(t) / R₂ (2.43)

yazılabilir. Eşdeğer direnç ifadesi yerine konulursa bağıntı şu hali alır:

(2.44)

R₂ direnci için de benzer bir işlem yapılabilir.

(2.45)

Eş. (2.44) ve (2.45) “Akım Bölücü” bağıntısı olarak adlandırılır. Şekil 2.17’teki gibi bir bağlantı görüldüğünde, başka hiçbir ara işlem yapmadan bir elemanın akımı hesaplanabilir. Bunun için diğer elemanın direnci, paralel bağlı dirençlerin toplam değerine bölünür ve bu oran girişe uygulanan akımla çarpılır.

Örnek 2.8

1 kA düzeyinde bir akımı ölçmek istiyoruz. Ancak ölçü aletimiz (ampermetre) en fazla 5 A ölçebilmektedir. Nasıl bir devre kullanmalıyız ki ampermetremiz 5 A gösterdiğinde gerçek akımın 1 kA olsun.

Şekil Ö2.8

Çözüm

Bu işlem için Şekil Ö2.8’deki devre kullanılabilir. Değeri bilinmek istenen akım, akım kaynağı ile gösterilmiştir. Akım kaynağına paralel bağlanan iki direnç akım bölücü olarak kullanılmıştır. Uygun direnç değerleri seçilerek ampermetrenin bağlanacağı daldan en fazla 5A akması sağlanabilir.

Ampermetreler ölçüm yapılacak devreye seri bağlanırlar. Ampermetrenin ideal olduğunu, yani ölçüm yaptığı devreye direnç eklemediğini varsayalım. Dolayısıyla ampermetre yokmuş gibi davranalım.

Ölçüm kolundaki akım için

Aşağıdaki çizelgede bu ilişkiyi sağlayabilecek direnç değerlerinden bazıları gösterilmektedir.

R₁	R₂
1 mΩ	199 mΩ
10 mΩ	1990 mΩ = 1.99 Ω
100 mΩ	19900 mΩ = 19.9 Ω

Burada en uygun seçim en küçük direnç değerini kullanmaktır. Eğer yüksek direnç değerleri kullanılırsa dirençten akan akımlar büyük olduğundan kayıplar çok artacaktır.

2.7. Seri-Paralel Bağlı Dirençlerin Eşdeğerinin Bulunması

Elektrik devrelerinde dirençler genel olarak seri ve paralel bağlantıların kombinasyonlarını oluşturacak biçimde yer alırlar. Bu durumda devreyi çözümlemek için adım adım işlem yaparak devreyi basitleştirmek gerekmektedir. Bunun nasıl yapılacağını örnek bir devre üzerinden inceleyelim.

Şekil 2.18’teki devre çok sayıda direncin değişik biçimde bağlanmasıyla oluşmuştur. Amacımız, bu dirençlerin yerine A-B uçları arasına bağlanabilecek eşdeğer bir direnç değeri hesaplamak olsun. Bu işlem için işleme ters uçlardan başlayıp başa doğru adım adım gelmemiz gereklidir.

Şekil 2.18

Devrenin sonunda 7 kΩ ve 2 kΩ dirençleri seri bağlıdır. Bu iki direncin eşdeğeri 9 kΩ olur. İki direncin yerine eşdeğerinin konulmasıyla elde edilen devre Şekil 2.19’da gösterilmektedir.

Şekil 2.19

Şekil 2.19’daki devrenin sonunda şimdi her birinin değeri 9 kΩ olan üç direnç paralel haldedir. Her bir direncin üst uçları ve alt uçlarının kendi aralarında birbirlerine bağlandığına dikkat ediniz. Bu üç direncin eşdeğeri 9 kΩ // 9 kΩ // 9 kΩ = 3 kΩ olarak bulunur. Aynı değerli (R) m adet direncin paralel eşdeğerinin R/m olduğunu kolayca kanıtlayabilirsiniz. 3 kΩ’luk direncin yerleştirildiği yeni devre Şekil 2.20’de gösterilmektedir.

Şekil 2.20

Yeni devrenin en sonundaki 3 kΩ ve 5 kΩ’luk dirençler seri bağlı olup eşdeğeri 8 kΩ olur. Bu eşdeğer direnç de devredeki 8 kΩ’luk dirence paraleldir. Dolayısıyla bu üç direncin eşdeğeri 8 kΩ // (5 kΩ + 3 kΩ) = 4 kΩ olur. Yeni devre Şekil 2.21’de verilmektedir.

Şekil 2.21

Şimdi de 2 kΩ’luk direnç, eşdeğer olarak gelen 4 kΩ’luk dirençle seri bağlıdır. Bunların eşdeğeri 6 kΩ olup, yeni eşdeğer direnç de devredeki 6 kΩ’luk dirence paralel bağlıdır. Bu üç direncin eşdeğeri 6 kΩ // (2kΩ + 4 kΩ) = 3 kΩ olur. Yeni devre Şekil 2.22’de verilmektedir.

Şekil 2.22

Şimdi devrede birbirine seri bağlı üç tane direnç kalmıştır: 4 kΩ, 3 kΩ ve 3 kΩ. Bunların eşdeğeri de dirençlerin toplamına eşit olur. Böylece;

R_AB = 4 kΩ + 3 kΩ + 3 kΩ =10 kΩ

R_AB direnci, A-B uçları arasından görülen eşdeğer direnç olarak adlandırılır.

Burada kullanılan teknik, karmaşık görünse de, zamanla devrelerin hızlıca indirgenebilmesine izin veren çok güçlü bir tekniktir.

2.8. Devre İndirgeme Yöntemiyle Analiz

Şimdi, Şekil 2.18’de verilen devrenin indirgeme yoluyla nasıl analiz edilebileceğini görelim. Şekil 2.23’te devre yeniden çizilmiştir. Bu kez devrenin girişine bir gerilim kaynağı bağlanmış ve hesaplanması gereken akım ve gerilimler devre üzerinde işaretlenmiştir. Ayrıca, tüm düğümlere de isim verilmiştir. Devrede 10 tane direnç bulunmaktadır. Dolayısıyla 10 tane akım ve gerilim hesaplanmalıdır. Ancak, bazı dirençler seri bağlı olduğundan bu dirençlerden geçen akım aynıdır. Dolayısıyla hesaplanması gereken akım sayısı daha azdır.

Şekil 2.23

Devre indirgeme yönteminde ilk olarak A-B uçlarından görülen eşdeğer direnç hesaplanmalıdır. Bunun için sondan başa doğru eşdeğer dirençler bulunarak adım adım gelinir. Bu süreç bir önceki kısımda uygulanmış ve Şekil 2.22’deki devre elde edilmiştir. Bu devre, Şekil 2.24’te yeniden çizilmiştir.

Şekil 2.24

Şekil 2.24’teki devrede A-B uçları arasından görülen eşdeğer direnç 10 kΩ olduğundan, kaynaktan çekilen akım

I₁ = 20 / 10 kΩ = 2 mA

olarak bulunur. Şimdi bu akım değeri kullanılarak Şekil 2.24’teki diğer akım ve gerilimler hesaplanabilir:

Burada dikkat edilmesi gereken konu şudur: V_CD gerilimi, C-D uçlarından sağa doğru bakıldığında görülen tüm devrenin uçları arasındaki gerilimdir. Bu devreden içeriye doğru 2 mA akım girmektedir. Şimdi, bir adım geriye gidip, eşdeğeri 3 kΩ olan devreye bakalım. Şekil 2.21’de verilen bu devre Şekil 2.25’te yeniden çizilmiştir.

Şekil 2.25

Şekil 2.25’teki devrede şu hesaplamaları yapabiliriz:

I₂ için 6 kΩ’luk dirence ohm yasası uygulanırsa: I₂ = 6 V / 6 kΩ = 1 mA

C düğümüne KAY uygulanarak: I₃ = 2 mA - 1 mA = 1 mA

Dolayısıyla 4 kΩ’luk eşdeğer direnç üzerinden de 1 mA akmaktadır. O halde;

V_ED = 4 kΩ X 1 mA = 4 V

Ayrıca; V₃ = I₃ X 2 kΩ = 2 V.

Bu gerilim değerini bulduktan sonra bir adım daha geri gidebiliriz. 4 kΩ’luk eşdeğer direnç Şekil 2.20’de elde edilmişti. Bu devre Şekil 2.26 olarak yeniden çizilmiştir.

Şekil 2.26

V_ED gerilimi bilindiğinden I₄ akımı hesaplanabilir.

I₄ = V_ED / 8 kΩ = 0.5 mA

E düğümüne KAY uygulanırsa:

I₉ = 1 mA - 0.5 mA = 0.5 mA

V₉ = 5 kΩ X 0.5 mA = 2.5 V

V_EF = 3 kΩ X 0.5 mA = 1.5 V

Şimdi, bir adım daha geri gidelim ve Şekil 2.19’daki devreyi Şekil 2.27 olarak yeniden çizelim:

Şekil 2.27

V_EF gerilimi bir önceki adımda 1.5 V olarak bulunmuştu. Bu gerilim, E-F uçları arasına bağlanan üç adet 9 kΩ’luk direncin uçlarına uygulanmaktadır. Dolayısıyla:

I₅ = I₆ = I₇ = 1.5 V / 9 kΩ = 0.1667 mA

Son olarak, devrenin orijinal hali Şekil 2.28’de yeniden çizilmiştir.

Şekil 2.28

I₇ = I₈ = 0.1667 mA olduğundan, ohm yasası uyarınca V₇ ve V₈ gerilimleri hesaplanabilir.

V₇ = 0.1667 mA X 7 kΩ = 1.167 V

V₈ = 0.1667 mA 2 kΩ = 0.333 V

Böylece tüm akım ve gerilimler bulunmuş, yani devre analiz edilmiş oldu. Bulunan tüm akım ve gerilimler Şekil 2.29’da topluca gösterilmektedir.

Şekil 2.29

Bulunan gerilim değerleri kullanılarak KGY’nin sağlandığı gösterilebilir. Örneğin; A-C-E-F-D-B-A kapalı yolu üzerinde KGY bağıntısını yazalım:

-20 V + 8 V + 2V +1.5 V + 2.5 V + 6 V = 0

Görüldüğü gibi bağıntının her iki tarafı 0 vermektedir. Dolayısıyla KGY sağlanmaktadır. Aynı işlemi başka çevreler için de yapabilirsiniz.

2.9. Yıldız-Üçgen Dönüşümleri

Bazı elektrik devrelerinde elemanların bağlantıları ne tam olarak seri ne de tam olarak paraleldir. Bu durumda eşdeğer direnci hesaplamak için yıldız-üçgen dönüşümü veya Y-Δ dönüşümü adı verilen teknikten yararlanılır. Şekil 2.30’da a-b-c uçları arasına Y veya Δ biçiminde bağlanmış üç tane direnç gösterilmektedir. Eğer a-b-c uçları arasında görülen devrenin her iki bağlantı biçiminde de aynı dirence sahip olması isteniyorsa, Y ve Δ bağlantılardaki direnç değerleri arasındaki ilişkinin şu biçimde olması gereklidir.

Şekil 2.30

Özel durum: a-b-c uçları arasındaki dirençler birbirlerine eşitse, yani R₁ = R₂ = R₃ = R_Δ ve R_a = R_b = R_c = R_Y ise bağıntılar basitleşir:

R_Y = R_Δ / 3 (2.48a)

R_Δ = 3 R_Y (2.48b)

Bu denklik bağıntıları kullanılarak bazı karmaşık devreler kolaylıkla analiz edilebilir.

Örnek 2.9

Şekil Ö2.9a’daki devrede kaynaktan çekilen akımı bulunuz.

Şekil Ö2.9a

Çözüm

Şekil Ö2.9a’daki devrede a-b-c ve b-c-d uçları arasında üçgen biçiminde bağlanmış dirençler bulunmaktadır. Bu haliyle devreyi analiz etmek zordur. Bu iki üçgenden bir tanesini yıldıza dönüştürmek yeterlidir. Burada a-b-c üçgenini yıldıza dönüştürülmüştür. Çözümün aşamaları Şekil Ö2.9b-e arasında gösterilmektedir.

Şekildeki a-b-c üçgen bağlantısında üç direnç eşit değerli olduğundan bunların yıldız eşdeğeri kolaylıkla 30/3=10 Ω olarak elde edilir. Bu direnç değerlerine sahip yıldız bağlantı Şekil Ö2.9c’de yerine yerleştirildiğinde iki direncin seri bağlanmasıyla oluşmuş iki paralel kolun ortaya çıktığı görülmektedir. Bunların eşdeğerleri alınarak tüm dirençler seri hale getirilirse sonuçta kaynağın gördüğü toplam direnç 50 Ω olarak elde edilir. Dolayısıyla kaynaktan çekilen akım 100 V/50 Ω = 2 A olur.

Şekil Ö2.9b

Şekil Ö2.9c

Şekil Ö2.9d

Şekil Ö2.9e

Örnek Sonu

2.10. Bağımlı Kaynak İçeren Devrelerin Analizi

Daha önce belirtildiği gibi, bazı devreler bağımlı kaynaklar içerebilir. Bu kaynaklar gerçekte var olan kaynaklar değildir. Ancak bazı fiziksel sistemlerin modellenmesi sırasında bu kaynakları tanımlamak gereklidir. Bir devre bağımlı kaynak içeriyorsa çözüm yöntemi şu adımları içermelidir.

1) Bağımlı kaynaklar, bağımsız kaynakmış gibi ele alınarak devrenin KGY ve KAY bağıntıları yazılır.
2) Bağımlı kaynakla, kaynağın bağımlı olduğu akım veya gerilim arasındaki ilişkiyi gösteren bağıntı yazılır.
3) Denklemler çözülür. Bu işlem sırasında elimizdeki denklem sayısının elimizdeki bilinmeyen sayısına eşit olduğuna dikkat etmemiz gereklidir.

Bağımlı kaynak bulunması durumunda çözümün nasıl elde edileceği bir örnekle gösterilecektir.

Örnek 2.10

Şekil Ö2.10’da görülen devre için V_o gerilimini hesaplayınız.

Şekil Ö2.10

Çözüm

Ortadaki düğüme gerilim kaynağından I_x akımı, bağımlı kaynaktan da I_x akımı gelmektedir. Dolayısıyla bu düğümden 10 kΩ’luk dirence doğru 6 I_x akımı akar. Bu durumda V_o gerilimi için şu bağıntı yazılabilir:

V_o = 10 kΩ X 6 I_x

I_x akımı için de şu bağıntı yazılabilir:

O halde:

Buradan

Örnek Sonu

Değerlendirme Soruları

Bölüm 3: DÜĞÜM VE ÇEVRE ANALİZİ TEKNİKLERİ

3.1. Düğüm Analizi

Elektrik devrelerinin analizinde amaç tüm dallardaki akım ve gerilimleri hesaplamaktır. Bunun için gereği kadar bağımsız denklem türetmek bu denklemleri çözmek gereklidir. Bu amaçla en yaygın olarak kullanılan yöntem “düğüm gerilimleri” yöntemidir. Yöntem basitçe şu adımlardan oluşur:

Devredeki düğümleri belirlemek
Referans düğümünü belirlemek
Diğer düğümler için birer düğüm gerilimi tanımlamak
Bu gerilim tanımlarını kullanarak düğümler için KAY bağıntılarını yazmak
Elde edilen denklemleri çözmek

Yöntemin nasıl çalıştığını Şekil 3.1’de verilen basit devre ile gösterelim.

Şekil 3.1

Şekil 3.1’deki devre bir gerilim kaynağı ve beş direnç içermektedir. Devrede dört tane düğüm, üç tane göz bulunmaktadır.

Devredeki dört düğümden bir tanesini referans düğüm olarak tanımlamak gereklidir. Referans düğümün gerilimi genellikle 0 V olarak seçilir ve diğer düğümlerin gerilimleri bu düğüme göre tanımlanır.

Karşılaştığımız devrelerin çoğunda devre şemasının en altında yer alan düğüm referans düğüm olarak seçilebilir. Bu gerçek devrelerde “toprak” adını verdiğimiz noktaya karşılık gelebilir ancak böyle olması zorunlu değildir. Yine de bu ders boyunca bu düğümü referans düğüm olarak seçeceğiz ve adına toprak diyeceğiz. Şekil 3.1’de bu nedenle d düğümü referans olarak seçilmiş, gerilimi 0 V olarak kabul edilmiş ve toprak anlamına gelen simge bu düğüme yerleştirilmiştir.

Şekil 3.2

d düğümü referans olarak seçtikten sonra diğer üç düğüm için gerilimlerin atanması gerekmektedir. Şekil 3.2’de düğümlere atanan gerilimler gösterilmektedir. a, b ve c düğümlerinin referans düğüme göre Va, Vb ve Vc gerilimlerine sahip olduğu kabul edilmiştir. Şekilde ayrıca bulunması gereken tüm akım ve gerilimler de işaretlenmiştir. Bu işaretlemeler yapılırken dikkat edilmesi gereken nokta şudur:

Akımların yönü tamamen keyfi olarak seçilebilir. Ancak, gerilim düşümleri, bu akımların yönü ile uyumlu olmalıdır. Pasif işaretleme yöntemine göre, bir dirence akım hangi ucundan giriyorsa, direncin o ucu (+), diğer ucu da (–) işaretlenmelidir.

Örnek devrede toplam üç tane düğüm geriliminin, dört tane direnç akımının ve kaynak akımının hesaplanması gereklidir. Yani, devrede sekiz tane bilinmeyen bulunmaktadır. Ancak burada hemen tespit edilebilen bir durum da bulunmaktadır. Vs gerilim kaynağı, (b) düğümü ile referans düğüm arasına bağlanmıştır. Dolayısıyla, Vb – Vd = Vs olduğundan ve Vd = 0 seçildiğinden, (b) düğümünün geriliminin Vs’ye eşit olduğu açıkça görülmektedir. Dolayısıyla, devredeki bilinen sayısı bir tane azalmıştır.

Şimdi, devredeki üç düğüm için KAY bağıntılarını yazabiliriz. Bunu yaparken, düğüme giren akımları artı, düğümden çıkan akımları eksi işaretli olarak alalım.

(a) düğümü için:	- I₁ - I₂ - I₃ = 0	(3.1a)
(b) düğümü için:	I₂ + I_S - I₄ = 0	(3.1b)
(c) düğümü için:	I₃ + I₄ - I₅ = 0	(3.1c)

Şimdi, ohm yasasını kullanarak bu akımları tanımladığımız düğüm gerilimleri cinsinden yazmamız gerekmektedir.

Eş. (3.2)’de verilen beş ilişkide üç düğümün gerilimi kullanılmaktadır. Ancak, bu düğümlerden bir tanesinin gerilimi bilindiği için, iki düğüm gerilimi kullanılarak diğer tüm akımlar hesaplanabilecektir.

Kaynaktan akan Is akımı için bir bağıntı yazılmamıştır. Bağımsız gerilim kaynakları için akım, bağımsız akım kaynakları için ise gerilim bağıntısı yazılamaz. Bu büyüklükleri, hesaplanan diğer akım ve gerilimler yardımıyla daha sonra hesaplamak gerekir.

Şimdi Eş. (3.2)’deki bağıntıları Eş. (3.1)’de yerlerine yerleştirelim. Ancak, (b) düğümünün gerilimi bilindiğinden bu düğüm için yazdığımız KAY bağıntısına ihtiyacımız yoktur. Çünkü 2 tane bilinmeyen gerilim vardır ve dolayısıyla iki tane bağımsız denklem problemi çözmek için yeterlidir. Zaten, Is için bağımsız bir denklem yazmamız da mümkün değildir. Bu nedenle 3.1b denklemi üzerinde çalışılmayacaktır.

(a) düğümü için:		(3.3a)
(c) düğümü için:		(3.3b)

Eş. (3.3.) ile verilen denklemlerde sol taraflardaki bilinmeyenleri gruplandırmak, gereklidir. Bu işlem yapılırsa ve eşitlikler düzenlenirse sonuç şu biçimde çıkar.

(a) düğümü için:		(3.4a)
(c) düğümü için:		(3.4b)

Şimdi, birazdan belirtilecek olan nedenle, iki denklemi de (-1) ile çarpalım, yani işaretleri ters çevirelim:

(a) düğümü için:		(3.5a)
(c) düğümü için:		(3.5b)

Bu denklemlerde bir özellik hemen göze çarpmaktadır. Bu özellik kullanılarak düğüm gerilimi denklemleri, şu ana kadar yaptığımız ara işlemler atlanarak doğrudan yazılabilir.

Bir düğüm için yazılan denklemde yalnızca o düğümün gerilimi ve o düğümle bağlantısı olan düğümlerin gerilimi yer alır.

Bir düğüm için denklemi yazarken; o düğümün gerilimi, o düğüme bağlı olan tüm dirençlerin terslerinin toplamıyla çarpılır; sonra, bağlantılı olan her bir düğümün gerilimi, aradaki dirence bölünerek bu terimden çıkartılır.

Örneğin, Eş. (3.5)’de (a) düğümü için denklem yazılırken şu işlemler yapılmıştır:

1) (a) düğümüne bağlı olan üç direncin (R1, R2, R3) tersleri toplanarak Va ile çarpılır.
2) (a) ile (b) düğümü arasındaki R2 direncinin tersi (-Vb) ile çarpılır.
3) (a) ile (c) düğüü arasındaki R3 direncinin tersi (-Vc) ile çarpılır.
4) Tüm bu terimler toplanarak sıfıra eşitlenir.

Burada Vb geriliminin Vs’ye eşit olduğu, yani bilindiği unutulmamalıdır.

Tüm bu işlemler yapıldıktan sonra bilinen büyüklükler denklemlerin sağ tarafına atılabilir.

(a) düğümü için:		(3.6a)
(c) düğümü için:		(3.6b)

Şimdi elimizde iki bilinmeyene bağlı olarak yazılmış iki tane denklem bulunmaktadır. Bu denklemler herhangi bir yöntem kullanılarak kolayca çözülebilir ve bilinmeyen düğüm gerilimleri Va ile Vc hesaplanabilir.

Devredeki düğüm sayısı yüksek olduğunda denklemlerin el ile çözülmesi mümkün olmayabilir. Bu durumda denklemler matris yapısında yazılarak, bilgisayarda çözülebilir. Eş. (3.6) matris yapısına şu biçimde dönüştürülebilir:

Bu yapıda da dikkat edilirse, köşegen üzerinde, denklemi yazılan düğüme bağlı tüm dirençlerin terslerinin toplamı, diğer konumlarda da, o konumun satırına ve sütununa karşı gelen düğümler arasına bağlı olan dirençlerin tersi, eksi işaretli olarak gelmektedir.

Denklemler çözülüp Va ve Vb gerilimleri elde edildikten sonra Eş. (3.2) kullanılarak beş dirence ait akımlar hesaplanabilir. Sonra her bir direnç ile o direncin akımı çarpılarak direnç gerilimleri bulunabilir. Son olarak bulunan dal akımları Eş. (3.1b)’de yerine konularak kaynak akımı Is elde edilebilir.

ÖZET: Düğüm sayısı n olan bir devre için n-1 adet bağımsız düğüm gerilimi denklemi yazılabilir. Ancak, devrede m adet gerilim kaynağı varsa, bu kaynakların gerilimleri bilindiği için, çözülmesi gereken denklem sayısı n-1-m olur.

Şimdi, bu yöntemi, sayısal değerleri verilen iki örnek devrede tekrarlayalım.

Örnek 3.1

Şekil Ö3.1’deki devre için aşağıdaki sayısal değerler verilmiştir.

Şekil Ö3.1

R₁ = 10Ω; R₂ = 30Ω; R₃ = 10Ω; R₄ = 100Ω; R₅ = 5Ω; V_S = 110V

a) Önce devrenin düğüm denklemlerini yazınız.
b) Düğüm denklemlerini çözerek düğüm gerilimlerini elde ediniz.
c) Bulduğunuz gerilimleri kullanarak devredeki tüm akımları hesaplayınız.
d) Düğüm denklemlerini matris yapısında gösteriniz ve matrisin tersini alarak düğüm gerilimlerini yeniden hesaplayınız. Eski çözümünüzle karşılaştırınız.

Çözüm

a) Düğüm denklemleri Eş. 3.6 ile verilmişti. Bu denklemleri yeniden yazalım.

(a) düğümü için:

(b) düğümü için:

(A) ve (B) denklemleri, devrenin düğüm denklemlerini oluşturur:

7V_a - 3V_c = 110 (A)

- 10V_a + 31V_c = 110 (B)

(b) (A) denklemi 31 ile (B) denklemi 3 ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa:

217V_a - 30V_a = 31 X 110 + 3 X 110

187V_a = 3740

V_a = 20 V

Dolayısıyla:

7V_a - 3V_c = 110

7 X 20 - 3V_c = 110

V_c = 10 V

(A) ve (B) düğümlerinin gerilimleri hesaplandığına göre tüm akımları hesaplayabiliriz:

Kaynak akımı için: I_S = I₄ - I₂ = 1 - (- 3) = 4A

Buna göre, I₂ akımı hariç tüm akımların yönleri şekilde belirtildiği gibidir. I₂ akımı ise belirtilenin tersi yönde akmaktadır.

(c) Şimdi bağıntılarımızı matris biçiminde gösterelim.

Katsayı matrisini K ile gösterelim:

Bu matrisin tersini alırsak:

Gerilimleri bulmak için bu matris, eşitliğin iki tarafı ile çarpılır:

Her iki yöntemle de aynı sonuçlar elde edilmiştir.

Not: Bulunan akımların düğümlerde KAY bağıntısını sağladığını kontrol ediniz.

Örnek 3.2

Şekil Ö3.2a’daki devre için düğüm denklemlerini elde ediniz ve denklemleri matris formunda yazınız.

Şekil Ö3.2a

Çözüm

Şekil Ö3.2b

Şekil Ö3.2c

Devre Şekil Ö3.2b’de yeniden çizilmiş ve tüm düğümler üzerinde işaretlenmiştir. Bu devrede dikkat çeken noktalar şunlardır:

Devrede 7 tane düğüm bulunmaktadır. En alttaki düğümü referans olarak alırsak, geri kalan 6 düğüm için düğüm gerilimi denklemi yazılabilir.
(b) ve (c) uçları arasında bir gerilim kaynağı bağlıdır. Kaynağın akımı bilinmediğinden bu düğümlerde KAY bağıntısı yazmak problemli olur. Bu nedenle (b) ve (e) uçlarını içine alan bir süper düğüm tanımlanacak ve bağıntılar bu düğüm için yazılacaktır. Süper düğüm Şekil Ö3.2c’de gösterilmektedir.
Devrede süper düğüm bulunduğundan, süper düğümdeki iki düğüm dışında kalan 4 düğüm için normal düğüm denklemleri yazılır. Sonra süper düğüm için KAY bağıntısı yazılır. Son olarak da süper düğümün iki bileşeni arasındaki ilişkiyi belirleyen bağıntı yazılır.
Devredeki dirençler kΩ mertebesindedir. Yazımı kolaylaştırmak için dirençleri kΩ, gerilimleri V cinsinden yazabiliriz. Bu durumda akımlar mA mertebesinde olacaktır.

Şimdi düğüm denklemlerini yazalım:

Bu denklemler düzenlenirse:

Bu denklemlerin paydalarından kurtulabiliriz:

Şimdi denklemleri matris formunda gösterebiliriz:

Bu eşitlikteki katsayı matrisinin tersinin bulunması gereklidir. Bu işlem MATLAB benzeri bir program aracılığıyla yapılır ve matrisler çarpılırsa düğüm gerilimleri şu biçimde hesaplanır:

Örnek Sonu

3.2. Çevre Analizi

Devre analizinde yaygın olarak kullanılan bir başka yöntem de “çevre analizi” veya “çevre akımları” analizi olarak adlandırılır. Bu yöntemde, verilen devrenin her gözü için, gözün çevresinde dolaştığı kabul edilen bir çevre akımı tanımlanır ve her göz için KGY bağıntıları yazılır. Dolayısıyla n düğümlü bir devre için n adet KGY denklemi yazmak ve bu denklemlerden n adet çevre akımını hesaplamak gereklidir. Yöntemin uygulanışını Şekil 3.2’de verilen örnek devre üzerinden inceleyelim. Devre, her bir göz için tanımlanmış çevre akımlarını da gösterecek biçimde Şekil 3.3’te yeniden verilmektedir. Şekilde dal akımları da işaretlenmiştir ancak çevre akımlarını belirlerken ve ilk denklemleri yazarken bu akımların yönlerinin bir önemi yoktur. Çevre akımlarının yönleri tamamen keyfi olarak seçilebilir ancak saat yönünde seçim yapmak çok yaygın bir uygulamadır. Önemli olan, denklemleri yazarken seçilen yönde sadık kalmaktır.

Şekil 3.3

Şimdi (A) çevresini inceleyelim. Bu göz için tanımlanmış I_A çevre akımının R₁, R₂ dirençleri ve V₃ gerilim kaynağı üzerinden dolaştığı varsayılmıştır. Dolayısıyla a-b-d-a kapalı yolu üzerinde dolaşırken bu elemanlardaki gerilimleri cebirsel olarak toplamamız gereklidir. Ancak, tanımladığımız çevre akımının geçtiği elemanların bazılarından geçen başka çevre akımları olduğuna da dikkat etmemiz gereklidir. Örneğin, R₂ elemanı üzerinden I_B çevre akımı da akmaktadır. Dolayısıyla, KGY bağıntılarını yazarken, diğer çevre akımlarının bu elemanlar üzerindeki etkisini de göz önüne almak gereklidir. Bunu yaparken de akımların yönlerine dikkat edilmelidir. Şimdi A gözü için KGY denklemini yazalım.

R₁I_A + R₂ (I_A - I_B) + V_S = 0 (3.8a)

Bu eşitliği yazarken şu işlemler yapılmıştır:

R₁ üzerinden yalnızca I_A akımı geçmektedir. Dolayısıyla bu elemanın gerilim düşümü R₁I_Aolur.

R₂ üzerinden I_A ve I_B akımları ters yönlerde geçmektedir. A gözü içerisinde hareket ederken seçtiğimiz yön I_A ’nın yönü olduğundan, R₂ üzerinden geçen akım I_A - I_B olur. Dolayısıyla bu direnç üzerindeki gerilim R₂ (I_A - I_B) olarak hesaplanır.

Çevre akımının üzerinden geçtiği son eleman bir gerilim kaynağıdır ve seçtiğimiz akımın yönü kaynağın artı ucundan girecek biçimdedir. Dolayısıyla kaynağa enerji verilmektedir ve kaynak gerilimi artı işareti ile bağıntıya katılır.

Şimdi aynı işlemleri diğer iki göz için yazalım:

B gözü için	R₂ (I_B - I_A) + R₃I_B + R₄ (I_B - I_C) = 0	(3.8b)
C gözü için	R₄ (I_C - I_B) + R₅ I_B - V_S = 0	(3.8c)

Görüldüğü gibi, B gözü için denklemleri yazarken, bu kez I_B akımının yönü dikkate alınmış, R₂ üzerindeki gerilim düşümü R₂(I_B - I_A) biçiminde hesaplanmıştır. Bu gözde gerilim kaynağı bulunmamaktadır. C gözü için tanımlanan akım, gerilim kaynağına eksi ucundan girdiği için, bu kaynak gerilimi yükseltiyor olarak kabul edilmiş ve (3.8c) denklemine eksi işaretli olarak girmiştir.

Şimdi Eş. (3.8) ile verilen bağıntıları düzenleyelim.

A gözü için	(R₁ + R₂)I_A - R₂I_B + V_S = 0	(3.9a)
B gözü için	- R₂I_A + (R₂ + R₃ + R₄)I_B - R₄I_C = 0	(3.9b)
C gözü için	- R₄I_B + (R₄ + R₅)I_C - V_S = 0	(3.9c)

Bu denklemlerin yapısı incelendiğinde şu özellik görülmektedir:

Bir göz için yazılan denklemlerde, o gözün çevresinde bulunan tüm dirençlerin toplamı, o gözün çevre akımı ile çarpılır.
Bu göz ile başka bir göz tarafından ortak olarak kullanılan dirençler için, direncin değeri ile diğer çevre akımı çarpılır. Eğer bu dirençten akan diğer çevre akımı, bu gözün çevre akımı ile aynı yöndeyse sonuçlar toplanır, farklı yöndeyse çıkartılır.
Bu işlemler tüm ortak gözler için yinelenir.

Eş. (3.9) çözülerek üç çevre akımı da hesaplanır. I_A, I_B ve I_C akımları hesaplandıktan sonra, bu akımlarla dal akımlarının ilişkisi gözetilerek dal akımları bulunabilir. Şekil 3.3’te tanımlanan dal akımları ile çevre akımları arasında şu ilişkiler bulunmaktadır:

I₁ = - I_A

I₂ = I_A - I_B

I₃ = I_B

I₄ = I_C - I_B

I₅ = I_C

Bu akımlar dirençlerle çarpılarak dirençlerin gerilimleri hesaplanır. Son olarak da V_S gerilim kaynağının akımı I_C ile aynı I_A ile ters yönde olduğundan,

I_S = I_C - I_A

bağıntısından elde edilir.

Aynı düğüm gerilimleri için olduğu gibi, çevre akımı denklemleri de matris formunda yazılabilir. Bu yapı, özellikle çevre sayısı yüksek olan devrelerin analizinde kolaylık sağlar.

Burada da akım vektörünün katsayı matrisinin köşegeni üzerinde, her çevredeki dirençlerin toplamı, diğer konumlarda da, karşı geldikleri satır ve sütunların tanımladığı gözlerde ortak olan dirençler uygun işaretle yer almaktadır. Eğer iki göz arasında ortak bir direnç yoksa bu gözlere karşı gelen satır ve sütun konumundaki eleman sıfır olmaktadır. Örneğin, A ve C düğümleri arasında ortak direnç olmadığından (1,3) ve (3,1) elemanları 0 olmaktadır.

Son olarak, devrede bir akım kaynağı bulunmasının denklem sayısını nasıl etkileyeceğini düşünelim. Nasıl ki düğüm gerilimleri yöntemini uygularken devredeki gerilim kaynakları, bilinmeyen sayısını azaltıyorsa, devrede akım kaynağı varsa, bu kez de çevre denklemi sayısı azalır. Amaç çevre akımlarını hesaplamak olduğundan ve devredeki her bir akım kaynağı, üzerinden geçen bir çevre akımının tanımlanmasına yardım ettiğinden, her bir kaynak için denklem sayısı bir azalır.

ÖZET: Göz sayısı n olan bir devre için n adet bağımsız düğüm gerilimi denklemi yazılabilir. Ancak, devrede m adet akım kaynağı varsa, bu kaynakların akımları bilindiği için, çözülmesi gereken denklem sayısı n-m olur.

Şimdi, bu yöntemi, sayısal değerleri verilen iki örnek devrede tekrarlayalım.

Örnek 3.3

Örnek 3.1’de verilen devreyi çevre akımları yöntemiyle analiz ediniz.

Çözüm

Devre Şekil Ö3.3’te tekrar gösterilmektedir.

Şekil Ö3.3

Devre parametreleri şu biçimde verilmişti.

R₁ = 10Ω; R₂ = 30Ω; R₃ = 10Ω; R₄ = 100Ω; R₅ = 5Ω; V_S = 110V

Bu devre elemanlarını kullanarak denklemleri düzenleyelim:

Bu denklemleri matrisler yardımıyla veya değişken eleme yöntemiyle çözebiliriz.

(A) ve (B) denklemleri birlikte çözülerek bilinmeyenler bulunabilir:

470I_A - 300I_C = - 1540 (A)

- 400I_A + 315I_C = 1430 (B)

(A) denklemi 315 ile (B) denklemi 300 ile çarpılarak taraf tarafa toplama yapılırsa:

315 X 470I_A - 300 X 400I_A = -315 X 1540 + 300 X 1430

28050I_A = - 56100

I_A = - 2A

Bu değeri (A)’da yerine koyarsak:

470I_A + 1540 = 300I_C

I_C = 2A

Son olarak:

I_B = 1A

Şimdi, çevre akımları ile dal akımlarını eşleştirelim:

I₁ = - I_A = 2A

I₂ = I_A - I_B = - 3A

I₃ = I_B = 1A

I₄ = I_C - I_B = 1A

I₅ = I_C = 2A

Bu sonuçların Örnek 3.1’de elde edilenlerle aynı olduğuna dikkat ediniz.

Örnek 3.4

Şekil Ö3.4a’da verilen devreyi çevre akımları yöntemiyle analiz ediniz.

Şekil Ö3.4a

Çözüm

Şekil Ö3.4b

Devre, Şekil Ö3.4b’de, üzerinde çevre akımları ile birlikte yeniden gösterilmektedir. Her ne kadar devrede 4 tane göz varsa da, gözlerden iki tanesinde akım kaynağı bulunduğundan yalnızca iki tane göz akımı bilinmemektedir. Denklemler aşağıda topluca verilmektedir.

I numaralı göz için: 8I_I - 4I_II - 4I_III - 12 = 0

II numaralı göz için: I_II = - 8 mA

III numaralı göz için: - 4I_I + 12I_III - 5I_IV = 0

IV numaralı göz için: I_IV = - 12mA

Bilinen iki çevre akımı diğer iki denklemde yerine konursa:

I numaralı göz için:

8I_I - 4(- 8) - 4I_III - 12 = 0

8I_I - 4I_III = - 20 (A)

III numaralı göz için:

- 4I_I + 12I_III - 5(- 12) = 0

- 4I_I + 12I_III = - 60 (B)

(A) ve (B) birlikte çözülürse:

3 X 8I_I - 4I_III = - 20

1 X / - 4I_I + 12I_III = - 60

20I_I = - 120

I_I = - 6 mA

I_III = - 7 mA

Bu çevre akımlarını kullanarak her bir elemanın akımı (dal akımları) hesaplanabilir. Örnek olarak şekilde gösterilen iki dal akımı burada hesaplanacaktır.

I₁ = I_I = - 6 mA (Gerilim kaynağının akımı aslında kaynağın artı ucundan girmektedir.)

I₂ = I_I - I_II = - 6 - (- 8) = 2 mA (4 kΩ’luk direncin akımı, öngörüldüğü gibi yukarıdan aşağıya doğrudur.)

3.3. Yöntemlerin Karşılaştırılması

Her iki yöntem de devre analizinde kolaylıkla kullanılabilir. Ancak, bir devre analizi problemi ile karşılaştığımız zaman hangi yöntemi kullanacağımıza karar verirken çözülmesi gereken denklem sayısına bakmamız gereklidir. Dolayısıyla devrenin kaç düğümü, kaç gözü olduğunu, kaç tane akım ve gerilim kaynağı içerdiğini belirlemek gereklidir. Bu değerleri kullanarak hesaplayacağımız bağımsız denklem sayısı hangi durumda daha küçükse, o yöntemi kullanmak daha akıllıcadır. Örneğin, Şekil 3.2’de verilen devrede 4 düğüm 3 göz bulunmaktadır. Devre bir tane de bağımsız gerilim kaynağı içermektedir. Dolayısıyla 4 - 1 – 1 = 2 tane düğüm denklemi, 3 tane de çevre denklemi yazmak gereklidir. O halde doğru olan bu devre için düğüm gerilimleri yöntemini kullanmaktır.

3.4. Bağımlı Kaynak İçeren Devrelerde Düğüm ve Çevre Yöntemlerinin Kullanımı

Bir devre bağımlı kaynak içerdiğinde düğüm gerilimleri ve çevre akımları yöntemini aynı biçimde kullanabiliriz. Bu yöntemleri uygularken öncelikle bağımlı kaynakları bağımsız kaynak gibi değerlendirerek denklemleri yazabiliriz. Daha sonra, bağımlı kaynaklar için geçerli olan kontrol değişkenleri yerine, hesaplamaya çalıştığımız bilinmeyen akım veya gerilimler cinsinden karşılığını yazarak bu kaynaklardan kurtuluruz.

Örnek 3.3

Şekil Ö3.5a’da verilen devreyi çevre akımları yöntemiyle çözerek V_o gerilimini elde ediniz.

Şekil Ö3.5a

Çözüm

Şekil Ö3.5b

Şekil Ö3.5b’de devre üzerinde çevre akımları gösterilmektedir. İlk çevre bir akım kaynağı içerdiğinden bu göz için bir çevre denklemi yazamayız. Ancak, bu gözde çevre akımı ile kaynak akımı birbirine eşittir. Buna göre denklemleri yazabiliriz:

I numaralı göz için: I_I = 5 mA

II numaralı göz için: -3I_I + 21I_II - 15I_III + 2v = 0

III numaralı göz için: - 15I_II + 16I_III - 2v = 0

Son olarak, devredeki bağımlı kaynak için bir bağıntı yazılmalıdır.

v = 3(I_I - I_II) = 3(5 - I_II) = 15 - 3I_II

Bu bilgileri denklemlerde yerine koyalım:

- 3I_I + 21I_II - 15I_III + 2v = - 3(5) + 21I_II - 15I_III + 2(15 - 3I_II) = 0

15I_II - 15I_III + 15 = 0

15I_II - 15I_III = - 15

I_II - I_III = - 1 (A)

- 15I_II + 16I_III - 2v = - 15I_II + 16I_III - 2(15 - 3I_II) = 0

- 9I_II + 16I_III - 30 = 0

- 9I_II + 16I_III = 30 (B)

(A) ve (B) denklemlerini birlikte çözelim.

I_II - I_III= - 1 (A)

- 9I_II + 16I_III= 30 (B)

(A) denklemini 9 ile çarpıp (B) denklemi ile toplarsak:

7I_III = 21

I_III = 3 mA

Dolayısıyla:

I_II = I_III - 1

I_II = 2 mA

Aranan gerilim V_o olduğuna göre:

Vo = 1I_III = 9 V

olarak elde edilir.

Değerlendirme Soruları

Bölüm 4: DİĞER ANALİZ TEKNİKLERİ

4.1. Doğrusal Devreler

Elektrik devrelerinde kullanılan devre elemanları uç karakteristiği ile tanımlanırlar. Örneğin direnç elemanının uç karakteristiği Şekil 4.1’de yeniden verilmektedir. Görüldüğü v = R_i bağıntısı (ohm yasası) ile tanımlanan direncin akım-gerilim karakteristiği bir doğru olup eğimi 1/R’ye eşittir. Bu dirence uygulanan gerilim hangi oranda artar veya azalırsa, içinden geçen akım da aynı oranda artar veya azalır.

Şekil 4.1

Şekil 4.1’dekine benzer karakteristiğe sahip devre elemanlarının doğrusal olduğu söylenir. Eğer bir elektrik devresi doğrusal elemanlardan oluşuyorsa, o zaman devre de doğrusaldır.

Devre elemanları gerçek çalışma koşullarında doğrusallık özelliklerini bir miktar kaybedebilirler. Ancak biz bu ders kapsamında inceleyeceğimiz tüm devre elemanlarının doğrusal olduğunu kabul edeceğiz.

Bu kısımda, devrelerin doğrusal olmaları durumunda, işlemleri kolaylaştırmak amacıyla kullanılabilen bazı teknikler anlatılmaktadır.

4.2. Süperpozisyon

Süperpozisyon ilkesi, bir devre çok sayıda bağımsız kaynak içerdiğinde çok kullanışlıdır. Bu ilkeyi kısaca şöyle anlatabiliriz.

N adet bağımsız kaynak içeren doğrusal bir devrede, herhangi bir daldaki akım ve gerilimleri bulmak için, devredeki kaynaklar tek tek ele alınabilir. Kaynakların her birinin tek başına bir dalda oluşturduğu akım veya gerilimlerin değerleri toplanarak, N adet kaynak birlikte çalışırken o daldaki akım veya gerilimin gerçek değerinin ne olacağı bulunabilir.

Süperpozisyon ilkesi uygulanırken şu adımlar izlenir:

Adım 1: N adet kaynağın yalnızca bir tanesi devrede bırakılır, diğerleri etkisizleştirilir. Etkisizleştirme, o kaynağın değerini sıfır yapmak demektir. Bu da akım kaynaklarını açık devre yaparak, gerilim kaynaklarını ise kısa devre yaparak sağlanır.

Adım 2: Devrede kalan 1 numaralı kaynak için devre analiz edilir. Bu durumda elde edilen akım ve gerilimlere “ ' ” üst indisi verilmesinde fayda vardır.

Adım 3: Bu işlemler tüm kaynaklar için teker teker yinelenir.

Adım 4: Her bir adımda elde edilen N adet akım ve N adet gerilim toplanarak, tüm kaynaklar devredeyken oluşan akım ve gerilim değeri hesaplanır.

Bu ilkenin nasıl uygulanacağını Şekil 4.2’de verilen basit bir devre üzerinden gösterelim. Devrede bir tane akım kaynağı bir tane de gerilim kaynağı bulunmaktadır. Amacımız, i_x akımını ve v_x gerilimini hesaplamak olsun.

Şekil 4.2

Şekil 4.3a

Şekil 4.3b

Şekil 4.3a ve 4.3b’de kaynaklar tek tek devrede tutulduğunda devrenin alacağı durumlar gösterilmektedir.

Şekil 4.3a’da gerilim kaynağı etkisizleştirilmiş, yani kısa devre edilmiştir. Bu kaynak kısa devre edildiğinde, kendisine paralel 1 Ω’luk direncin de devreye etkisinin kalmadığına dikkat ediniz.

Şekil 4.3b’de akım kaynağı etkisizleştirilmiş, yani açık devre edilmiştir.

Şimdi bu iki devreyi ayrı ayrı analiz edelim. Şekil 4.3a’daki devre Şekil 4.4’te yeniden verilmiştir.

Şekil 4.4

Biz yalnızca bir elemanın akımını ve gerilimini hesaplamaya çalıştığımız için tüm devreyi analiz etmek yerine akım bölüşüm ilkesini kullanarak ix' akımını hesaplayabiliriz.

i'_x= i₁(t) (1 Ω/3 Ω) = (1/3) i₁(t)

Bu akım kullanılarak gerilim de bulunabilir:

v'_x = 2i'_x = (2/3) i₁ (t)

Şimdi gerilim kaynağının etkisini bulalım. Şekil 4.3b’deki devre Şekil 4.5’te yeniden çizilmiştir.

Şekil 4.5

Şekil 4.5’teki devrede yalnızca 2 Ω’luk direnç incelendiğinden, şekilde gösterilen çevre akımının hesaplanması yeterli olacaktır. Bu çevre akımı

i = - v₂(t)/3

olarak hesaplanır. Tanımlanan çevre akımı kaynağa artı ucundan girdiğinden değeri negatif olmuştur. Öte yandan, bu çevre akımı 2 Ω’luk direncin üzerinden akan tek akımdır ve aynı yönde akmaktadır. Dolayısıyla:

Şimdi, her iki kaynak devredeyken 2 Ω’luk elemanın akım ve geriliminin ne olacağını hesaplayabiliriz:

Devreyi analiz ederken i₁(t) ve v₂(t) için özellikle sayısal değer vermedik. Böylece kaynakların sonuçlar üzerindeki etkisini daha açık olarak görmüş olduk. Şimdi bu iki kaynak için şu değerleri verelim:

i₁(t) = 6 A

v₂(t) = 9 V

Bu durumda 2 Ω’luk direncin akım ve gerilim değerleri şu biçimde bulunur:

Yani, direncin akımı ve gerilimi şekilde belirtilenin ters yönündedir.

Şimdi, yaptığımız işlemin doğruluğunu göstermek için Şekil 4.2’deki devreyi daha önce öğrendiğimiz yöntemlerden birini kullanarak analiz edelim.

Devrede üç tane düğüm ve bir tane bağımsız gerilim kaynağı bulunduğundan çözülmesi gereken denklem sayısı 3-1-1=1 olur. Yani bir tane düğüm denklemi yazmak yeterli olacaktır. Öte yandan devrede üç tane göz ve bir tane akım kaynağı olduğu için çözülmesi gereken çevre denklemi sayısı 3-1=2 olur. Bu durumda doğal olarak düğüm denklemi yazmak uygun olacaktır.

Şekil 4.2’deki devrenin alt düğümünü referans düğüm seçelim. Sağdaki düğüme gerilim kaynağı bağlı olduğu için yalnızca soldaki düğümün gerilimi bilinmemektedir. Bu düğümün gerilimine v₁ diyelim ve düğüm için düğüm gerilimi denklemini yazalım:

Dolayısıyla:

olur. Bu durumda

Görüldüğü gibi elde edilen denklemler, süperpozisyon yöntemiyle elde edilen denklemlerle aynıdır.

Şimdi, bu devreyi analiz ederken düğüm denklemi kullanmanın süperpozisyon tekniği kullanmaya göre daha kolay olduğu söylenebilir ve bu devre için bu doğrudur. Ancak, devreler büyüdüğünde ve kaynak sayısı arttığında süperpozisyon tekniğini kullanmak çok büyük kolaylık sağlar.

Not: Süperpozisyon işlemi yaparken devredeki bağımlı kaynaklara dokunulmaz. Bağımlı kaynak, ancak ve ancak bağımlı olduğu değişken sıfır olmuşsa devreden çıkabilir. Aksi takdirde, bağımlı kaynağı devrede tutarak analiz yapılmalıdır.

4.3. Thevenin ve Norton Teoremleri

Thevenin ve Norton teoremleri de devre analizinde çok kullanışlı teknikleri hizmetimize sunmaktadır. Her iki teknik de aynı amaca hizmet eder: kaynaklar ve dirençlerden oluşan bir devreyi, tek bir eşdeğer kaynak ve eşdeğer dirençle değiştirebilmek.

Elektrik devreleri her zaman bir yükle sonlandırılırlar. Bir su kaynatma cihazı, bir ütü, bir elektrikli soba için yük elektrik enerjisini ısıya dönüştüren bir dirençtir. Daha pek çok elektrik devresinin çıkışında, devrenin işlevine uygun bir direnç vardır. Şekil 4.6’da de üç göz ve beş düğüm içeren bir devre ile buna bağlanabilecek bir RL yükü gösterilmektedir.

Şekil 4.6

Şekil 4.6’daki devrenin çıkış uçları a ve b olarak işaretlenmiştir. Kesikli çizgilerle sınırlandırılmış devrenin uçları arasında herhangi bir yük bulunmadığından, a-b uçları arasındaki gerilim açık devre gerilimi olarak adlandırılır. Bu gerilimi v_ad ile gösterelim.

Bu uçlar arasına yük bağlandığında Şekil 4.7’deki devre elde edilir ve yükten bir akım akmaya başlar. Bu durumda devre a-b uçları arasından R_L yükü ile yüklenmiştir. Çıkışta bir akım akmaya başlamıştır ve bu nedenle çıkış gerilimi değişmiştir.

Pek çok uygulamada, bir elektrik devresinin içinde ne olup bittiğinden çok, devreye değişik yükler bağlandığı zaman çıkışın nasıl değiştiğini merak ederiz. Bu durumda tüm devreyi analiz etmemize gerek yoktur. Thevenin ve Norton teoremleri, devrenin incelemek istediğimiz parçası dışındaki tüm bölümlerin yerine eşdeğer bir kaynak ve direnç yerleştirerek analizimi kolaylaştırmayı sağlar.

Örneğin Şekil 4.7’deki devrede amacımız yük akımını ve gerilimini öğrenmekse, tüm devreyi analiz etmek yerine, kesikli çizgiler içinde kalan devrenin eşdeğerini alarak devreyi basitleştirebiliriz. Bir devrenin Thevenin eşdeğeri, bir gerilim kaynağı (V_Th) ve seri bir dirençten (R_Th) (Şekil 4.8a), Norton eşdeğeri de bir akım kaynağı (I_N) ve paralel bir dirençten (R_N) (Şekil 4.8b) oluşur. Her iki devrenin çıkışında da yüksüz durumda Vad gerilimi bulunmaktadır.

Şekil 4.8a

Şekil 4.8b

Şekil 4.9’de eşdeğer devreler yükleri ile birlikte gösterilmektedir. Eşdeğer devre biliniyorsa, yük akımı ve gerilimi bu basit devre aracılığıyla kolayca hesaplanabilir.

Şekil 4.9a

Şekil 4.9b

4.3.1. Thevenin Eşdeğer Devresinin Bulunması

Şimdi, karmaşık bir devrenin Thevenin eşdeğerinin nasıl bulunacağını görelim. Öncelikle belirtmek gerekir ki, eşdeğer devre ifadesini kullanırken, hangi uçlar arasından bakıldığını da belirtmek gerekir. Örnek devremiz için konuşacak olursak, devrenin a-b uçlarından içeri doğru bakıldığında görülen eşdeğer devreyi bulmak istiyoruz.

Şekil 4.9a’da verilen devrede yük akım ve gerilim ifadesi şu biçimdedir:

v_L = v_Th - R_Thi_L (4.1)

Eğer bu devreden, yani a-b uçlarından çekilen akım sıfır olursa (i_L = 0), o zaman yük gerilimi Thevenin gerilimine (v_Th) eşit olur. Bu devre Şekil 4.7’de verilen orijinal devreyle aynı olduğuna göre, v_Th gerilimi, a-b uçları arasındaki açık devre gerilimine eşittir. Yani, Thevenin gerilimini bulmak için Şekil 4.7’deki devrenin a-b uçları arasından yükü kaldırmak gereklidir. Bu da Şekil 4.6’daki devre olmaktadır. O halde:

v_Th = v_ad (4.2)

Eş. (4.1)’de v_L = 0 olduğunu düşünelim. Yani, a-b uçlarını kısa devre edelim. Bu durumda yükten akan akım “kısa devre akımı” olarak adlandırılır ve i_kd ile gösterilir.

R_Th = v_Th/ i_kd (4.3)

olur. Bu bağıntıdaki vTH geriliminin a-b uçları arasındaki açık devre gerilimine eşit olduğu hatırlanırsa Thevenin direnci için

R_Th = v_ad / i_kd (4.4)

yazılabilir. Özetleyecek olursak;

Bir devrenin a-b uçları arasından görülen Thevenin eşdeğer devresini bulmak için

Önce a-b uçları açık bırakılır ve açık devre gerilimi hesaplanır.
Sonra a-b uçları kısa devre edilir ve bu kısa devreden akan ikd kısa devre akımı hesaplanır.
Thevenin gerilimi açık devre gerilimine eşittir (v_Th = v_ad).
Thevenin eşdeğer direnci, açık devre gerilimi kısa devre akımına bölünerek bulunur (R_Th = v_ad / i_kd).

Şimdi Şekil 4.7’de verilen devrenin yük akımını ve gerilimi Thevenin eşdeğeri yardımıyla bulalım.

Önce a-b uçları açıkken devrenin analiz edilmesi ve vad geriliminin bulunması gereklidir. Bunun için Şekil 4.7 kullanılacaktır. Devre için yazılacak düğüm gerilimi denklemi sayısı 2, çevre akımı sayısı da yine 2 olduğundan herhangi bir yöntemi seçebiliriz. İstenirse, süperpozisyon tekniği de kullanılabilir. Biz çevre denklemlerini oluşturalım. İşlemlerimizde kolaylık sağlaması amacıyla da tüm dirençleri 1 Ω, gerilim kaynağını 1 V, akım kaynağını 1 A seçelim. Devre Şekil 4.10’da yeniden çizilmiştir. Göz akımları da devre üzerinde işaretlenmiştir. İlk iki göz için çevre akımları denklemi aşağıda yazılmaktadır. Üçüncü gözde akım kaynağı olduğundan denklem yazmaya gerek yoktur.

Şekil 4.10

- 1 + 3 i₁ - i₂ - i₃ = 0

- i₁ + 4i₂ - i₃ = 0

Üçüncü gözde çevre akımı ile kaynak akımı aynı şiddette aynı yöndedir:

i₃ = 1 A

Dolayısıyla denklemlerimiz aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir:

- 1 + 3 i₁ - i₂ - 1 = 0

- i₁ + 4i₂ - 1 = 0

Sonuç olarak iki bilinmeyen akım için iki tane denklem elde edilir.

3 i₁ - i₂ = 2

- i₁ + 4 i₂ = 1

Bu denklemler çözülürse bulunur. Biz v_ad gerilimini elde etmeye çalıştığımız için, R7, R6 ve R8 dirençlerindeki gerilim düşümlerini toplayabiliriz.

Dolayısıyla:

Şimdi a-b uçlarını kısa devre ederek kısa devre akımını hesaplayalım. Devre Şekil 4.11’de yeniden çizilmiştir.

Şekil 4.11

Devreyi yine çevre akımları yöntemiyle çözebiliriz.

1. çevre için: - 1 + 3i₁ - i₂ - i₃ = 0

2. çevre için: - i₁ + 4i₂ - i₃ - i₄ = 0

3. ve 4. çevreler gerilim bağıntısı yazamayacağımız bir yapıdadır. Bu nedenle “süper göz” adı verilen bir göz tanımlarız. Bu yeni çevre R8 – R6 – R7 – kısa devre bağlantısı üzerinden tanımlanır. Bu çevrenin bağıntısı şu biçimde yazılır:

- i₁ - 2i₂ + 2i₃ + i₄ = 0

Ayrıca 3 ve 4 gözleri için şu bağıntı da geçerlidir:

i₃ - i₄ = 1

Şimdi elimizde 4 adet bağımsız denklem vardır. Bu denklemleri matris yapıda çözebiliriz.

Bu denklem bir hesap makinesi veya bilgisayar yardımıyla veya Cramer kuralı kullanılarak çözülürse akımlar şu biçimde elde edilir.

i₁ = 0.692 A; i₂ = 0.308 A; i₃ = 0.769 A; i₄ = -0.231 A

Biz kısa devre akımını aradığımız için ve bu akımda i₄ akımına eşit olduğundan:

i_kd = -0.231 A elde edilir.

Şimdi, Thevenin direncini bulmak için vad gerilimini ikd akımına bölmemiz gereklidir.

R_Th = (-3/11) / (-0.231) = 1.181Ω

Elde edilen Thevenin eşdeğer devresi, yükle birlikte Şekil 4.12’de verilmektedir. Thevenin gerilimi eksi işaretli hesaplandığı için, Şekil 4.9’da tanımlanan yönünün tersi yönde alınmıştır.

Şekil 4.12

Şimdi, Şekil 4.12’deki devre kullanılarak yük akımı ve gerilimi hesaplanabilir:

i_L = -0.273 / (RL + 1.181)

V_L = R_Li_L

Bu bağıntılar kullanılarak farklı yük direnci değerleri için yük akımı ve geriliminin nasıl değiştiği hesaplanabilir. Şekil 4.13’te yük direncinin 1 Ω ile 3 Ω arasında değişmesi durumunda yük geriliminin nasıl değiştiği gösterilmiştir. Kolaylık açısından negatif gerilim çizdirilmiştir.

Şekil 4.13

Görüldüğü gibi, devrenin Thevenin eşdeğerini elde etmek bazı durumlarda birçok işlemin yapılmasını gerektirmektedir. Bu nedenle akıllara, eşdeğer devreyi elde etmek yerine doğrudan devrenin tümünü analiz etmenin daha kolay olacağı gelebilir. Ancak, Thevenin eşdeğer devresinin bir avantajı, değişik yük (veya giriş gerilimi vb.) koşullarında çıkışın nasıl değişeceğini görmemize yaramasıdır. Yukarıda ifade edildiği gibi, değişik RL dirençleri için devre tekrar tekrar analiz edilmeden, eşdeğer devre kullanılarak yük direncinin değişiminin etkisi incelenebilmektedir.

4.3.2. Thevenin Eşdeğer Direncini Hesaplamak için Alternatif Yol

Bir devre bağımlı kaynak içermiyorsa, Thevenin eşdeğeri daha kolay bir yoldan hesaplanır. Bunun için eşdeğeri aranan devrenin içindeki tüm bağımsız kaynaklar etkisizleştirilerek, belirtilen uçlar arasından görülen eşdeğer direnç seri-paralel eşdeğer hesaplama adımları ile bulunur.

Şekil 4.10’da verilen devre, kaynakları etkisizleştirilmiş olarak Şekil 4.14’te yeniden çizilmiştir.

Şekil 4.14

Öncelikle devrede seri veya paralel olduğu açıkça görülen elemanları varlığı araştırılır. Bu devrede yalnızca R6 ve R7 dirençleri seridir. Diğer dirençler için ise bu aşamada seri veya paralel ifadesi kullanılamaz. R6 ve R7 dirençlerinin toplanmasıyla elde edilen R9 = 2 Ω’luk direnç kullanılarak çizilen devre Şekil 4.15’te verilmektedir.

Şekil 4.15

Şekil 4.16

Şekil 4.15’te kesikli çizgilerle sınırlanan alan içerisinde üç tane direnç yıldız (Y) biçiminde bağlanmıştır. Bu dirençlerin üçgen (D) eşdeğeri alınarak devre basitleştirilebilir.

Bölüm 2’de verilen yıldız-üçgen dönüşümleri kullanılarak yeni direnç değerleri elde edilebilir.

R_xy = (R4 R8 + R8 R9 + R9 R4) / R8 = 5Ω

R_yz = (R4 R8 + R8 R9 + R9 R4) / R9 = 2.5 Ω

R_xz = (R4 R8 + R8 R9 + R9 R4) / R4 = 5Ω

Üçgen eşdeğerler yerine konularak çizilen devre Şekil 4.17’de verilmektedir.

Şekil 4.17

Yeni devrede R5 ile R_xy , R3 ile R_yz paralel olmaktadır.

R5 // R_xy = 1 // 5 = 0.833 Ω

R3 // R_yz = 1 // 2.5 = 0.714 Ω

Eşdeğer dirençler yerleştirilerek elde edilen devre Şekil 4.18’de verilmektedir.

Şekil 4.18

Şekil 4.18’deki devrede, 0.8 Ω ile 0.667 Ω seri, bu ikisinin eşdeğeri de 4 Ω ile paralel bağlıdır. Dolayısıyla Thevenin direnci artık hesaplanabilir.

R_Th = 5 Ω // (0.833 Ω + 0.714 Ω) = 1.181 Ω

4.3.3. Norton Eşdeğer Devresinin Bulunması

Şimdi, aynı devrenin a-b uçları arasından görülen Norton eşdeğerinin nasıl bulunacağını görelim.

Şekil 4.9b’de verilen devrede yük akım ve gerilim ifadesi şu biçimdedir:

i_L = I_N - v_L / R_N                       (4.5)

Eğer bu devrede a-b uçları kısa devre edilirse (v_L = 0), o zaman yük akımı Norton akımına eşit olur (i_kd = I_N). O halde bir devrenin iki ucu arasından görülen eşdeğer devresini bulmaya çalışırken, o iki ucu kısa devre edersek, kısa devre uçlardan akan akım Norton akımıdır.

Öte yandan, a-b uçlarını açarsak yükten akım akmaz (i_L = 0). Bu durumda      olur. Dolayısıyla Norton direnci açık devre gerilimi Norton akımına, yani kısa devre akımına bölünerek elde edilir. Bu da aslında Thevenin direncinden farklı bir değer değildir.

R_N = v_ad / i_kd = R_Th              (4.6)

Özetleyecek olursak;

Bir devrenin a-b uçları arasından görülen Norton eşdeğer devresini bulmak için

Önce a-b uçları kısa devre edilir ve bu kısa devreden akan ikd kısa devre akımı hesaplanır.
Sonra a-b uçları açık bırakılır ve açık devre gerilimi hesaplanır.
Norton akımı kısa devre akımına eşittir (i_N = i_kd).
Norton eşdeğer direnci, açık devre gerilimi kısa devre akımına bölünerek bulunur. Bu da Thevenin direncine eşittir (R_N = v_ad / i_kd = R_Th).

Şimdi Şekil 4.7’de verilen devrenin yük akımını ve gerilimini Norton eşdeğeri yardımıyla bulalım.

Önce a-b uçları kısa devre edilerek i_kd = i_N akımının bulunması gereklidir. Bu işlem Thevenin eşdeğeri hesaplanırken yapılmış ve i_kd = -0.231 A bulunmuştu. O halde Norton akımı 0.231 A olup, yönü Şekil 4.8b’de varsayılana terstir.

Norton direncini hesaplamak için a-b uçlarının açık devre yapılması gereklidir. Bu işlem de yukarıda yapılmış ve v_ad = -3/11 V = -0.273 V olarak bulunmuştu.

O halde Norton direnci R_N = -0.273 / (-0.231) = 1.181Ω olur.

Norton eşdeğer devresi yükü ile birlikte Şekil 4.19’da verilmektedir.

Şekil 4.19

Bu devrede yük akımının ve geriliminin yük direnci ile değişişimi şu biçimde elde edilir:

i_L = -i_N 1.181/(1.181 + R_L) (4.7)

v_L = -(1.181 // R_L) i_N (4.8)

4.3.4. Devrede Bağımlı Kaynak Bulunması Durumunda Thevenin ve Norton Eşdeğer Devresinin Bulunması

Eşdeğer devresi bulunması istenen devrede bağımlı kaynaklar varsa dikkatli olmak gereklidir. Bu devrelerde Thevenin gerilimi veya Norton akımı hesaplanırken yapılan işlemlerde bir farklılık olmaz. Ancak, Thevenin/Norton direnci hesaplanırken iki durum söz konusu olabilir:

Devrede yalnızca bağımlı kaynaklar varsa, devrenin uçlarına bağımsız bir gerilim kaynağı veya akım kaynağı bağlanarak, bu devre analiz edilir. Daha sonra kaynak uçlarındaki gerilim, kaynaktan çekilen akıma bölünerek direnç hesaplanır.
Devrede hem bağımsız hem de bağımlı kaynaklar varsa, yine açık devre gerilimi ve kısa devre akımı bulunur ve bunların oranı hesaplanır.

4.3.5. Bir Devrenin Herhangi Bir Elemanı Tarafından Görülen Eşdeğer Devrenin Bulunması

Bazı durumlarda devrenin yükü veya girişi yerine devre içindeki herhangi bir elemandaki akım veya gerilimi Thevenin veya Norton eşdeğeri kullanarak hesaplamamız istenebilir. Bu durumda yapılan işlemler yine aynıdır. Ancak eşdeğer devre bulma işlemleri yapılırken, söz konusu eleman devreden çıkartılmalı ve açık devre gerilimi, kısa devre akımı bu koşullarda bulunmalıdır. Bu durumu göstermek için Şekil 4.7’deki devreyi ele alalım ve amacımız R6 direnci tarafından görülen eşdeğer devreyi bulmak olsun. Bu durumda incelenecek devre yapısı Şekil 4.20’de verilmektedir.

Şekil 4.20

Yeni eşdeğer devreyi bulmak için, c-d uçlarındaki açık devre gerilimi ile c-d uçları kısa devre edildiğindeki akım hesaplanmalıdır. Daha sonra bulunan Thevenin ve Norton eşdeğer devrelerinin çıkışına R6 direnci bağlanarak bu dirençteki akım ve gerilim hesaplanabilir.

4.4. Kaynak Dönüşümü

Bir önceki kısımda incelediğimiz Thevenin ve Norton eşdeğer devreleri bir başka önemli özelliği daha göz önüne sermektedir. Şekil 4.21’de Thevenin ve Norton eşdeğer devreleri tekrar gösterilmektedir.

Şekil 4.21

Hem Thevenin hem de Norton devresi aynı devrenin eşdeğeri olduğuna göre, bu iki eşdeğer devre de birbirine eşit olmak zorundadır. O halde: Bir gerilim kaynağı ve ona seri bağlı bir direnci, bir akım kaynağı ve ona paralel bağlı bir dirençle değiştirebiliriz. Bu ilke “kaynak dönüşümü” olarak adlandırılır.

İki devrenin çıkış gerilimleri aynıdır. Thevenin eşdeğer devresinin açık devre gerilimi doğrudan v_Th olmaktadır. Norton devresinin açık devre gerilimi ise R_Ni_N olmaktadır. Dolayısıyla:

v_Th = R_Ni_N

Thevenin ve Norton eşdeğer dirençleri aynı olduğundan:

v_Th = R_Ni_N = R_Thi_N

Buna göre kaynak dönüşümü yaparken şu genel kurallar geçerlidir:

Bir V_s gerilim kaynağı ve ona seri bağlı R_s direncinin yerine, değeri V_s/ R_s olan bir akım kaynağı ile ona paralel bağlı bir R_s direnci yerleştirilebilir.
Bir I_s akım kaynağı ile ona paralel bağlı bir R_s direncinin yerine, değeri R_sI_s olan bir gerilim kaynağı ve ona seri bağlı bir R_s direnci yerleştirilebilir.

Bu kurallar Şekil 4.22’de gösterilmektedir. Akım ve gerilim kaynaklarının yerleri değiştirilirken yönlere dikkat etmek gerekir. Akım kaynağının okunun gösterdiği yön ile gerilim kaynağının artı ucu aynı olmalıdır.

Kaynak dönüşümü, devre analizi sırasında kolaylık sağlayabilen bir tekniktir.

4.5. Maksimum Güç Aktarımı

Thevenin ve Norton eşdeğer devrelerinin kullanma amacının bir devrede yük değişiminin çalışmaya etkisini incelemek olduğunu belirtmiştik. İncelenebilecek noktalardan biri de devrenin yüküne aktarılabilecek gücün değişimidir. Thevenin ve Norton devreleri, kaynaklar ve dirençlerden oluşan karmaşık devrelerin, bir kaynak ve bir dirençle oluşturulan eşdeğeridir. Bu eşdeğer devredeki direnç, kaynakların sağladığı gücün bir bölümünün içerde harcandığını ve yüke aktarılamadığını gösterir. Yüke aktarılan güç ise doğal olarak yük direncinin değerine göre değişir.

Şekil 4.23’te bir Thevenin eşdeğer devresi ve ona bağlı yük gösterilmektedir. Bu devre yapısı kullanılarak yüke verilen güç bağıntısı şu biçimde elde edilir:

P_L = R_LI²_L (4.9)

Yük akımını

(4.10)

biçiminde yazarsak, güç ifadesini şu biçimde düzenleyebiliriz.

(4.11)

Bir devre için VTh ve RTh değerleri sabit olduğuna göre, Eş. (4.11) yük direnci değiştiğinde yüke aktarılan gücün nasıl değiştiğini gösterir.

Yük direncinin iki uç değerinde, kısa ve açık devre durumlarında, gücün sıfır olduğu açıktır. Bu durum Eş. (4.11)’den matematiksel olarak görülebileceği gibi, kavramsal olarak da anlatılabilir. Yükün kısa devre edilmesi demek yüke gerilim ve dolayısıyla güç vermemek demektir. Yükü açık devre etmek demek de, yükten akım akmayacağı için yine yüke güç vermemek anlamına gelir. O halde, yüke verilen güç, yük direncinin değeri büyüdükçe önce büyümekte, belli bir değerde maksimum olmakta, sonra da sıfıra doğru azalmaktadır. Peki bu maksimum nerede olmaktadır? Bu sorunun cevabını bulmak için Eş. (4.11)’in türevini alarak sıfıra eşitleyebiliriz. Hangi yük değeri için gücün en yüksek olduğunu aradığımız için, kısmi türevi yük direncine göre almak gereklidir.

(4.12)

Bu eşitliğin paydası her zaman sıfırdan farklı olduğu için, çözüm payı sıfıra eşitleyerek bulunabilir.

V²_Th (R_L + R_Th)² - 2 V²_Th R_L(R_L + R_Th) = 0 (4.13)

Terimler VTH parantezine alınırsa:

V²_Th (R_L + R_Th){(R_L + R_Th) - 2R_L} = 0 (4.14)

Buna göre, gücün en yüksek değerine

(R_L + R_Th) - 2R_L = 0

olduğunda, yani

R_L = R_Th (4.16)

koşulu sağlandığında ulaşılır. Bir başka deyişle, yüke aktarılan gücün en yüksek değerine ulaşabilmek için, yük direncini Thevenin direncine eşitlemek gereklidir. Bu durumda yüke aktarılan güç değeri ise

(4.17)

olur. Gücün yük direncine göre değişimi Şekil 4.24’te kabaca gösterilmektedir. Burada not edilmesi gereken bir nokta da şudur. Yüke aktarılan gücü maksimum yaptığımızda, aynı miktarda bir gücü de devrenin iç direncinde kaybetmekteyiz; çünkü bu koşulda yük direnci ve Thevenin direnci aynıdır ve her ikisinden de aynı akım akmaktadır. Yani bu durumda verim %50 olmaktadır.

Değerlendirme Soruları

Bölüm 5: KONDANSATÖR VE İNDÜKTANS

5.1. Kondansatörler

Kondansatörler, ilkesel olarak iki iletken levha arasına yalıtkan (dielektrik) bir malzeme yerleştirilerek oluşturulur. Şekil 5.1’de basit bir kondansatör yapısı gösterilmektedir.

Şekil 5.1

Kondansatörlerin levhaları arasında bulunan dielektrik malzeme, bu eleman üzerinden DA geçişine engel olur. Ancak levhalar arasına zamanla değişen bir gerilim uygulanırsa, bu gerilimin yönü değiştikçe kondansatörün levhalarında biriken yükler de yer değiştirir ve böylece kondansatör akımı oluşur. Levhalarda biriken yük nedeniyle kondansatörlerin “enerji depolama” özelliği bulunmaktadır.

Kondansatörler için elektrik devrelerinde Şekil 5.2’de gösterilen devre simgesi kullanılır.

Şekil 5.2

Kondansatörün büyüklüğü yük, dolayısıyla enerji depolama kapasitesi veya “kapasitans” ile tanımlanır ve birimi “Farad”dır. Bunun için de C simgesi kullanılır. Bir kondansatörün kapasitesinin büyüklüğü, levhaların yüzey alanına (A), levhalar arasındaki mesafeye (d) ve aralarındaki malzemenin dielektrik katsayısına () bağlıdır.

C = ∈A / d (5.1)

Pratikte karşılaşılan tipik kapasite değerleri “nanofarad”lar (10^-9 farad) ile “milifarad”lar (10^-3 farad) arasındadır. Daha büyük kapasite değerleri elde etmek için levha yüzeylerinin büyütülmesi, aradaki mesafenin ise küçük tutulması gereklidir. Son yıllarda geliştirilen özel teknolojilerle onlarca farad kapasitesi olan kondansatörler de üretilmeye başlanmıştır. Bu kondansatörler süper veya ultra kondansatör olarak adlandırılır ve özellikle elektrikli araçlar gibi, enerji depolama gereksinimi duyulan uygulamalar için cazip seçenekler sunmaktadırlar.

İki iletken levha arasında bir dielektriğin bulunması bir kondansatör oluşturduğu için, elektrik devre ve cihazlarında kendiliğinden ortaya çıkan kondansatörler de bulunmaktadır. Bunlara “kaçak kapasitans” adı verilir. Örneğin yeraltına döşenen elektrik nakil hatlarının iletkenleri arasında bir kaçak kapasitans bulunmaktadır. Benzer biçimde elektronik devrelerin baskı kartlarındaki yollar arasında veya çeşitli bağlantılar arasında, yarıiletkenleri eklemleri arasında kaçak kapasitanslar oluşur. Bunlar genellikle pikofarad mertebesinde olurlar ve özellikle yüksek frekanslarda devre çalışmasını olumsuz etkileyebilirler.

Kondansatörlerin en temel tanım bağıntısı, levhalarda biriken yükle gerilim ilişkisini gösterir.

q(t) = Cv(t) (5.2)

Bu ifadede,

q, coulomb cinsinden elektrik yükünü,

v volt cinsinden levhalar arasındaki gerilimi,

C, farad cinsinden kapasitansı gösterir.

Dolayısıyla bir kondansatörün kapasitansı, levhaları arasındaki gerilimin levhalarda biriken yüke oranı biçiminde de ifade edilebilir.

C = q(t) / v(t) (5.3)

Elektrik akımı, elektrik yükünün zamana göre türevine (değişim hızına) eşit olduğunda, kondansatörün akımı için şu ilişki elde edilebilir.

(5.4)

Bu eşitlik, bir kondansatörden geçen akımın, uçları arasındaki gerilimin değişim hızı ile orantılı olduğunu gösterir. Eşitlikten çıkartılacak bir başka sonuç ise, DA devrelerinde kondansatörlerin açık devre gibi davranacağıdır. Gerilimin DA olması durumunda, yani sabit olması durumunda, kondansatör akımı sıfır olacaktır.

Eğer bir kondansatörün gerilimi biliniyorsa, akımını bulmak için integral işlemi yapmak gereklidir.

(5.5)

Bilindiği gibi integral işlemi bir toplama, yani biriktirme işlemidir. Bir kondansatörün üzerindeki gerilimin herhangi bir t anında ne kadar olduğunu hesaplamaya çalışırken bir integral işlemi yaparız. Bu integral alma işlemi belli bir t0 anından başlatılır ve gerilimin hesaplanması istenen ana kadar sürdürülür. Ancak, kondansatör enerji depolayabilen bir eleman olduğu için, t₀ anında üzerinde bir yük, yani bir gerilim olabilir. Bunun için kondansatör gerilimi hesaplanırken bu başlangıç geriliminin dikkate alınması gereklidir.

(5.6)

Bir kondansatöre verilen anlık güç akım ve gerilimin anlık değerleri çarpılarak hesaplanabilir.

(5.7)

Kondansatöre herhangi bir t anına kadar verilen anlık enerji ise, gücün integrali alınarak hesaplanır.

(5.8)

Bu işlem yapılırken t = - ∞’daki gerilimin sıfır olduğu kabul edilmiştir.

Eş. (5.6), herhangi bir anda kondansatörün enerjisinin, kondansatörün uçları arasındaki gerilimin karesi ile orantılı olduğunu göstermektedir.

Elektrik devrelerinde kondansatörleri özellikle güç kaynaklarının gerilim regülasyonu için kullanırız. Bunun dışında pek çok osilatör devresinde ve süzgeç devresinde kondansatörlerden yararlanırız.

5.2. İndüktörler

Manyetik alanlar, enerji depolama özellikleri nedeniyle elektrik mühendisliğinde yaygın olarak kullanılan çok önemli bir kavramdır. Bir iletkenden akan bir akımın manyetik akı oluşturduğu bilinmektedir. Bir iletkenin içinden akan akımın oluşturduğu toplam manyetik akının, o akıma oranı, o iletkenin indüktansı olarak adlandırılır ve indüktans L ile gösterilir. İndüktansın birimi Henry’dir.

(5.9)

Fizik derslerinden bilindiği üzere, bir iletkeni bir sargı haline getirirsek, sargıdan geçen akımın oluşturduğu manyetik alanın değeri sarım sayısıyla orantılı olarak yükselir. Bu durumda sargının indüktans değeri de yükselmiş olur. Dolayısıyla herhangi bir iletken, bir sargı (bobin) haline getirilerek indüktörler elde edilebilir. Şekil 5.3’te basit bir indüktör gösterilmektedir.

Şekil 5.3

Devrelerde kullanılan indüktör simgesi Şekil 5.4’te verilmektedir.

Şekil 5.4

İndüktörlerin temel tanımı manyetik akı üzerinden yapılır. Eş. 5.9, şu biçimde yeniden yazılabilir:

                               (5.10)

Bir indüktörün akısı bu bağıntıdan

                         (5.11)

biçiminde yazılabilir. Bilindiği üzere gerilimle manyetik akı arasında türevsel bir ilişki vardır.

                            (5.12)

O halde, bir indüktörün gerilimi için

                     (5.13)

elde edilir. Görüldüğü gibi, indüktörün akım gerilim ilişkisi de, kondansatördeki gibi türevseldir. Ancak indüktörlerde, akımın değişim hızı gerilimi belirler.

Bu bağıntı, bir indüktörün doğru akım devrelerinde kullanılması durumunda kısa devre gibi davranacağını gösterir. DA devrelerinde tüm akımlar sabit olduğundan, Eş. 5.13 gereği gerilim sıfır olacaktır.

İndüktör akımını hesaplamak için de gerilimin integralini almak gereklidir.

(5.14)

Bir indüktörden geçen akımın herhangi bir t anında ne kadar olduğunu hesaplamaya çalışırken bir integral işlemi yaparız. Bu integral alma işlemi belli bir t0 anından başlatılır ve akımın hesaplanması istenen ana kadar sürdürülür. Ancak, indüktör de enerji depolayabilen bir eleman olduğu için, t0 anında içinde bir akı, yani bir akım olabilir. Bunun için indüktör akımı hesaplanırken bu başlangıç akımının dikkate alınması gereklidir.

(5.15)

Bir indüktöre verilen anlık güç akım ve gerilimin anlık değerleri çarpılarak hesaplanabilir.

(5.16)

İndüktöre herhangi bir t anına kadar verilen anlık enerji ise, gücün integrali alınarak hesaplanır.

(5.17)

Bu işlem yapılırken t = - ∞’daki akımın sıfır olduğu kabul edilmiştir.

Eş. (5.6), herhangi bir anda indüktörün enerjisinin, içinden geçen akımın karesi ile orantılı olduğunu göstermektedir.

Pratikte yüksek güçlü elektrik sistemlerinde indüktansı Henry mertebesinde olan indüktörlerle karşılaşılabilir. Elektronik devrelerde karşılaşılan indüktans değerleri ise daha çok mikro-henry (10^-6 Henry) ve mili-henry (10^-3 Henry) mertebesinde olur.

Her akımın bir manyetik alan oluşturması nedeniyle, devrelerimizdeki tüm iletkenlerin bir indüktansı vardır. Biz devreye özel olarak bir indüktör koymasak da, “kaçak indüktans” olarak adlandırdığımız bu indüktans, devrelerin çalışmasını olumsuz etkileyebilir. Kaçak indüktanslar genel olarak pH-nH mertebesinde olurlar.

İndüktörleri elektrik devrelerinde yaygın olarak, özellikle süzgeç elemanı olarak kullanırız.

5.3. Kondansatör ve İndüktörlerle İlgili Bazı Önemli Noktalar

Kondansatör ve indüktörlerin akım-gerilim ilişkileri benzerlikler içerir. Kondansatör akımı için söyleyeceğimiz şeyleri indüktörün gerilimi için, kondansatörün gerilimi için söyleyeceğimiz şeyleri indüktörün akımı için de söyleyebiliriz.

Bir kondansatörün gerilimi, akımın integraline bağlıdır. İntegral işlemi, toplama – biriktirme işlemi olduğu için yavaş bir işlemdir. Dolayısıyla kondansatörün gerilimi yavaş değişir.

Kondansatörün akımı ise gerilimin türeviyle orantılıdır ve dolayısıyla aniden değişebilir.

Bu özelliklerin sonucu olarak, bir kondansatörün geriliminin sürekli olduğunu, aniden değişemeyeceğini, akımının ise aniden değişebileceğini, kesikli olabileceğini ifade ederiz.

Bu özelliğin fiziksel temeli q(t) = C v(t) bağıntısıdır. Kondansatörün yükleri aniden kesintiye uğrayamadığı için gerilim de aniden değişemez. Buna yükün sürekliliği adı verilir.

Eğer bir kondansatörün uçlarını aniden kısa devre ederek veya uçları arasında aniden farklı bir gerilim uygulayarak gerilimi hızlı biçimde değişmeye zorlarsak, akım gerilimin değişim hızıyla orantılı olduğundan, kondansatörden akan ani akım, kondansatörü tahrip edebilecek kadar büyük olabilir. (i_c = C dv / dt).

Bir indüktörün akımı, gerilimin integraline bağlıdır. İntegral işlemi, toplama – biriktirme işlemi olduğu için yavaş bir işlemdir. Dolayısıyla indüktörün akımı yavaş değişir.
İndüktörün gerilimi ise akımın türeviyle orantılıdır ve dolayısıyla aniden değişebilir.

Bu özelliklerin sonucu olarak, bir indüktör akımının sürekli olduğunu, aniden değişemeyeceğini, gerilimin ise aniden değişebileceğini, kesikli olabileceğini ifade ederiz.

Bu özelliğin fiziksel temeli bağıntısıdır. İndüktörün akı çizgileri aniden kesintiye uğrayamadığı için akım da aniden değişemez. Buna akının sürekliliği adı verilir.

Eğer bir indüktörün bağlantısını aniden koparıp açık devre ederek akımı hızlı biçimde değişmeye zorlarsak, gerilim akımın değişim hızıyla orantılı olduğundan, indüktör uçlarında oluşan ani gerilim, indüktörü tahrip edebilecek kadar büyük olabilir. (v_L = L di / dt).

5.4. Kondansatör ve İndüktör Bağlantıları

Aynı dirençlerde olduğu gibi kondansatör ve indüktörler de seri veya paralel bağlanabilir. Şekil 5.5’te kondansatörlerin seri bağlantısı, Şekil 5.6’da ise kondansatörlerin paralel bağlantısı görülmektedir.

Şekil 5.5

Şekil 5.6

Şekil 5.5’te gösterilen n adet seri bağlı kondansatörün eşdeğeri bir Ceş kondansatörü olsun. Seri bağlantıda tüm kondansatörlerden aynı akım akmaktadır. Toplam gerilim de gerilimlerin toplamına eşittir. Seri bağlantı için aşağıdaki işlemler yapılabilir:

Dolayısıyla:

(5.18)

Seri bağlı kondansatörlerin eşdeğeri paralel bağlı dirençlerin eşdeğerine benzemektedir. Eşdeğer kapasitenin tersi, kondansatörlerin kapasitelerinin terslerinin toplamına eşittir. Özellikle iki kondansatör seri bağlantısı için

(5.19)

yazılabilir.

Şekil 5.6’da gösterilen n adet paralel bağlı kondansatörün eşdeğeri bir Ceş kondansatörü olsun. Paralel bağlantıda tüm kondansatörlere aynı gerilim uygulanmaktadır. Toplam akım ise akımların toplamına eşittir. Paralel bağlantı için aşağıdaki işlemler yapılabilir:

Dolayısıyla:

(5.20)

Paralel bağlı kondansatörlerin eşdeğeri seri bağlı dirençlerin eşdeğerine benzemektedir. Eşdeğer kapasitenin kondansatörlerin kapasitelerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla kondansatörleri paralel bağlayarak eşdeğer kapasiteyi büyütebiliriz.

Şekil 5.7’de indüktörlerin seri bağlantısı, Şekil 5.8’de ise indüktörlerin paralel bağlantısı görülmektedir.

Şekil 5.7

Şekil 5.8

Şekil 5.7’de gösterilen n adet seri bağlı indüktörün eşdeğeri bir Leş indüktörü olsun. Seri bağlantıda tüm indüktörlerden aynı akım akmaktadır. Toplam gerilim de gerilimlerin toplamına eşittir. Seri bağlantı için aşağıdaki işlemler yapılabilir:

Dolayısıyla:

Leş = L₁ + L₂ + . . . + L_n (5.21)

Seri bağlı indüktörlerin eşdeğeri seri bağlı dirençlerin eşdeğerine benzemektedir. Eşdeğer indüktans, indüktansların toplamına eşittir. Dolayısıyla indüktörleri seri bağlayarak eşdeğer indüktansı büyütebiliriz.

Şekil 5.8’de gösterilen n adet paralel bağlı indüktörün eşdeğeri bir Leş indüktörü olsun. Paralel bağlantıda tüm indüktörlere aynı gerilim uygulanmaktadır. Toplam akım ise akımların toplamına eşittir. Paralel bağlantı için aşağıdaki işlemler yapılabilir:

Dolayısıyla:

(5.22)

Paralel bağlı indüktörlerin eşdeğeri paralel bağlı dirençlerin eşdeğerine benzemektedir. Eşdeğer indüktansın tersi, indüktörlerin indüktanslarının terslerinin toplamına eşittir. Özellikle iki indüktör paralel bağlantısı için aşağıdaki basit ifade yazılabilir:

(5.23)

Değerlendirme Soruları

Bölüm 6: R-L, R-C VE RLC DEVRELERİNİN ANALİZİ

Bölüm 7: AA SİNÜZOİDAL KALICI DURUM ANALİZİ

Bölüm 8: AA GÜÇ VE ENERJİ

Bölüm 9: TRANSFORMATÖRLER

Kaynaklar

Bölüm 1: TEMEL KAVRAMLAR

1.1 SI Birim Sistemi

1. Ev cihazlarında elektrik enerjisinin kullanılmasının en önemli sebepleri nelerdir?

Ev cihazlarında elektrik enerjisinin kullanılmasının en önemli sebepleri elektrik motorlarının,

• ✔ daha küçük olması

• ✔ basit anahtarla çalıştırılması

• ✔ bakım gerektirmemesi

• ✔ sessiz çalışmasıdır

2. Elektrik makinelerinin sanayide kullanılmasının en önemli sebepleri nelerdir?

• ✔ verimlerinin yüksek olması

• ✔ kumandasının kolay olması

• ✔ yapısının basit olması

3. Elektrik enerjisi nerede depolanabilir?

• ✔ akümülatör

• ✔ kondansatör

4. Coulomb nedir?

• Coulomb (C): 1 amperlik akımın 1 saniyede taşıdığı yük.

5. Coulomb sabiti nedir?

• Coulomb sabiti 8,987551787×10^9 N•m^2/C^2'dir ve k ile gösterilir.

6. 20°C'de gümüşün öz direnci kaç ohmdur?

• 0,016 ohm

7. 20°C'de bakırın öz direnci kaç ohmdur?

• 0,017 ohm

8. Plastik çubuk kürk parçasına yüklendiğinde çubuk .. yüklenir.

Negatif

•

9. Cam çubuk ipeğe sürtündüğünde çubuk ... yüklenir.

• Pozitif

10. Atomun çapı ... metredir.

• 10^(-10) metre

11. Atom çekirdeğinin çapı ... metredir.

• 10^(-14) metre

1.2 Temel Elektriksel Büyüklükler

Atom numarası nedir?

• Atom numarası: Çekirdekteki proton sayısı ZZ.

Kütle numarası nedir?

• Kütle numarası: Proton + nötron sayısı AA.

6. Gravitasyonel kuvvet ile elektriksel kuvvet arasında ne fark vardır?

• Fark: Kütleler arası çekim her zaman çekicidir ve çok zayıftır; elektriksel kuvvet çekici de itici de olabilir ve çok daha güçlüdür.

7. Elektrik yükü nedir?

• Elektrik yükü: Maddenin elektromanyetik etkilerini belirleyen nicelik (birimi coulomb).

8. Elektrik yükünün özellikleri nelerdir?

• Özellikler: İşaretli (±), korunur, nicemlidir (±eee katları), aynı işaret iter, zıt işaret çeker.

9. Temel yük nedir?

• Temel yük: ∣e∣=1.602 176 634×10−19 C|e| = 1.602\,176\,634\times10^{-19}\ \text{C}∣e∣=1.602176634×10−19 C.

13. Bir elektronun yükü kaç coulomb'dur?

• Elektronun yükü: −1.602 176 634×10−19 C-1.602\,176\,634\times10^{-19}\ \text{C}−1.602176634×10−19 C.

23. Elektronun kütlesi ... kilogramdır.

• 9.11×10^(-31) kilogram

29. Elektrik alanını ne üretir?

• Elektrik yükü.

33. 1 Amperlik akım için iletkenin sabit bir kesitinden saniyede kaç elektron geçmelidir?

• 6.24*10^18

36. Bir iletkenin kesit alanı 3mm² ve akım yoğunluğu 4A/mm² ise iletkenden geçen toplam akım nedir?

• Akım Yoğunluğu birim alanda akan akım miktarıdır. Yani, iletkenin birim kare milimetresi üzerinden kaç amper akım geçtiğini gösterir. Burada bize verilen değer, her bir mm² için 4 amper akım geçtiği anlamına gelir. Kesit alanı İletkenin enine kesitidir. Burada 3 mm²'dir. Toplam akım İletkenden geçen toplam elektrik yükü miktarıdır. Toplam akımın akım yoğunluğuyla kesit alanının çarpımına eşittir.

I = 4 A/mm² * 3 mm²

• =12Amm²/mm²

• =12A

İletkenden geçen toplam akım 12 amperdir. Yani, bu iletkenin her bir saniyesinde 12 coulomb elektrik yükü geçiyor demektir.

•

1.3 Devre Elemanları

Pasif elemanlar nelerdir?

• direnç (R)

• endüktans (L)

• kondansatör (C)

Bağımsız kaynak ne ile gösterilir?

• Daire ile.

Bağımlı kaynak ne ile gösterilir?

• Baklava ile.

Herhangi bir enerjiyi elektrik enerjisine dönüştüren aygıta ne denir?

Üreteç

Elektrik enerjisini istenilen başka bir enerjiye dönüştüren aygıta ne denir?

Alıcı

Elektrik devresinden geçen akım şiddeti bazen istenilmeyen değerlere yükselebilir. Bu gibi durumlarda devre elemanları zarar görür. Akım şiddetinin belli bir değerinin üstüne çıkmasını önlemek için elektrik devresini .. ile korunur.

sigorta

Pilin negatif kutbu hangi sembolle gösterilir?

• Kısa çizgi

Pilin pozitif kutbu hangi sembolle gösterilir?

• Uzun çizgi

Direnç nedir?

• L bir cismin uzunluğu/metre, S alanı/mm2 ve ρ özdirenci/ohm olsun. Direnç Lρ/S ile tanımlanır ve R ile gösterilir.

Direncin hangi karakteristikleri vardır?

• omik değer

• güç

Direncin üzerinde kaç tane renk bandı bulunur?

• Dört

Dirençlerin üzerinde belirtilen omik değer, ... sıcaklığındaki direnç değeridir.

oda

Üç tane seri direncin eşdeğeri 750 Ω'dur. Dirençlerden ikisi 40 Ω ve 410 Ω olduğuna göre üçüncü elemanın direnci ne olmalıdır?

750-450=300 Ω

1.4 Akım ve Gerilimin Zamana Göre Değişimleri

• 38. 50 Hz frekansında çalışan bir alternatif akım kaynağının bir alternansının süresi nedir?

• Alternatif akım, belirli bir zaman aralığında yönü sürekli olarak değişen bir elektrik akımıdır. Bu değişimlerin her bir tam döngüsüne bir saykıl denir. Saykılın yarısı ise bir alternanstır. Yani, alternatif akımın pozitif yönden negatif yöne veya negatif yönden pozitif yöne geçmesi için geçen süreye alternans süresi denir. Frekans, 1 saniyedeki saykıl sayısıdır.

• f= 50 Hz

• bir saniyede 50 tam salınım olduğu anlamına gelir. Saykıl,

• T=1/f

• =1/50Hz

• =0,02 saniye

• Alternans, alternatif akımın yönünün bir kez değişmesidir. Alternans süresi,

• T/2=0,01 saniye

• =10 milisaniye

•

1.5 Değişkenlerin Gösterimi (Semboller/Konvansiyonlar)

• 10 (pozitif/negatif renk kodları)

• 12 (Coulomb yasasının sembolik ifadesi bağlamında)

• 24 (yükün sembolü)

• 30 (elektrik alan sembolü E)

• 31, 32 (pil uç işaretleri; ister 1.3’te ister burada tutarlı kal)

• 10. Pozitif ve negatif yüklerin renk kodları nelerdir?

•

• Renk kodu: Yaygın konvansiyon pozitif = kırmızı, negatif = mavi/siyah.

• 12. Coulomb yasası nedir?

•

• Coulomb yasası: F=k q1q2r2F = k\,\dfrac{q_1 q_2}{r^2}F=kr2q1q2 (doğrultu iki yükü birleştiren hat), k=14πε0k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}k=4πε01.

• 24. Yük için standart sembol nedir?

• q

• 30. Elektrik alanının sembolü nedir?

• \vec E

•

Bölüm 2: DİRENÇ DEVRELERİ

2.1 Ohm Yasası ve Güç

• 35 (3 A akım kaynağı + 15 Ω üzerinde güç)

• 37 (220 V, 30 W ampulün eşdeğer direnci)

• 39 (12 V, 2 A, 2 saat → enerji/Wh; DC güç-enerji bağı)

• 35. Bir devrede 3A sabit akım sağlayan bir akım kaynağı 15Ω'luk bir dirence bağlanmıştır. Direnç üzerinde oluşan güç nedir?

• Güç formülü:

• P = V * I

• =R * I * I

• = I² * R

• Akımın karesini dirençle çarpıyoruz. Direnç üzerinde harcanan enerji miktarı,

• P = (3A)² * 15Ω

• =135W

• Elde ettiğimiz sonuç 135 Watt'tır. Bu, direncin her saniye 135 Joule enerji harcadığı anlamına gelir. Başka bir deyişle, direnç elektrik enerjisi dönüştürmektedir ve bu dönüşüm hızı saniyede 135 Joule'dür.

•

• 37. Bir evde 220 V'luk şebeke gerilimine bağlanan 30 Watt tasarruflu ampulün elektrik akımına karşı gösterdiği direnç kaç Ω'dur?

• P=V*I temel güç formülünden,

• I=P/V

• =30W/220V

• ≈136mA

• Ohm kanunundan,

• R=V/I

• =220V/0,136A

• ≈1617,65Ω

•

• 39. Bir devrede kaynağın uçları arasındaki gerilim 12 Volt. Uçlardan akan akım 2 amper. 2 saat sonundaki enerji miktarı W-h'dır?

• Güç (P), gerilim ile akımın çarpımıdır.

• Güç (P) = Gerilim (V) × Akım (I)

• P = 12 V × 2 A = 24 Watt

• Enerji (E) = Güç (P) × Süre (t)

• E = 24 Watt × 2 saat = 48 Watt-saat

• Sonuç:

• 2 saat sonunda devrede harcanan enerji 48 Watt-saat'tır.

$25 Ω$ değerinde bir direncin gerilimi $v = 150 \sin (377 t)$ biçimindedir. Akım ve güç değerini bulunuz.

i) $I$ akım olmak üzere Ohm kanunu gereği,

$I = \frac{V}{R}$ $I = \frac{150 \sin (377 t)}{25}$ $I = 6 \sin (377 t)$

ii) E ve P sırasıyla enerji ve güç olmak üzere Joule kanunu gereği,

$E = I^{2} R t$ $P = \frac{E}{t}$ $P = I^{2} R$ $P = 36 \sin^{2} (377 t) 25$ $P = 900 \sin^{2} (377 t)$

(i) V𝐴𝐵=? (ii) V𝐵𝐶=? (iii) V𝐶𝐷=? (iv) V𝐴𝐶=? (v) V𝐵𝐷=?

Gerilim bölücü kuralı gereği V=E·Rₖ/ΣR olduğundan,

(i) V𝐴𝐵 = E·Rₖ/ΣR = 40·10/60 = 6.66 V

(ii) V𝐵𝐶 = E·Rₖ/ΣR = 40·20/60 = 13.3 V

(iii) V𝐶𝐷 = E·Rₖ/ΣR = 40·30/60 = 20 V

(iv) V𝐴𝐶 = E·Rₖ/ΣR = 40·30/60 = 20 V

(v) V𝐵𝐷 = E·Rₖ/ΣR = 40·5060 = 33.3 V

Devrede yer alan ütü 550 W ve 110 V ile çalıştığına göre R direnci kaç Ω'dur?

I = P/U olduğundan devrenin akımı,

I = 550 W / 110 V = 5 A

dir. Ohm kanunu gereği ütünün direnci,

110 V / 5 A = 22 Ω

dir. Gerilim bölücü kuralı gereği, R'nin direnci,

220 V · 22 Ω / 22 + R = 110 V

R = 22 Ω

olarak bulunur.

Devrede direnci 210 Ω olan iletken 2 dakikada kaç Joule ısı yayar?

Devrenin eş değer direncini bulunuz.

Joule yasası gereği iletkenden yayılan ısı miktarı I²Rt olduğundan,

Q = 0.004 A²· 210 Ω · 120 s = 1008 Joule

veya 242 kaloridir.

2.2 Dal, Düğüm, Göz ve Çevre Kavramları

• 34 (basit düğüm vs temel düğüm farkı)

• 41 (ampermetre devreye nasıl bağlanır — seri; ölçüm cihazı konumlandırma)

• 34. Basit düğüm noktası ile temel düğüm noktası arasındaki en önemli fark nedir?

• Basit düğüm noktasında akım bölünmez ama temel düğüm noktasında akım bölünür.

• 41. Ampermetre devreye ... bağlanır.

• seri

•

2.4 Elemanların Seri ve Paralel Bağlantıları

• 40 (12 V ve 9 V kaynak seri → toplam gerilim)

• 40. 12V ve 9V'luk iki gerilim kaynağı seri bağlanmıştır. Toplam gerilim nedir?

• 12V+9V=21V

•

Bölüm 3: DÜĞÜM VE ÇEVRE ANALİZİ TEKNİKLERİ

Bölüm 4. Diğer analiz teknikleri

Süperpozisyon, Thevenin/Norton, maksimum güç transferi

Bölüm 5. Kondansatör ve İndüktans

C ve L tanımı, i-v bağıntıları, enerji depolama, başlangıç koşulları.

Bölüm 6. R-L, R-C, RLC geçici rejim

Zaman sabiti, doğal/zorlanmış cevap, adım tepkisi.

Bölüm 7. AA Sinüzoidal Kalıcı Durum

Fazörler, empedans, faz açıları. (38’i istersen buraya “frekans-period ön bilgi” diye taşıyabilirsin.)

Bölüm 8. AA Güç ve Enerji

Aktif/reaktif/görünür güç, güç faktörü, kompanzasyon.

Bölüm 9. Transformatörler

İdeal/transformatör eşdeğeri, gerilim-sargı ilişkisi, regülasyon.

Kaynaklar

Emre Kıyak, Devre Analizi

Serkan Pınar, DC Devreleri

Özgür Özer Seçkisi

İÇİNDEKİLER

19 Ekim 2025 Pazar

TBML201 Devre Teorisi

Bölüm 1: TEMEL KAVRAMLAR

1.1 SI Birim Sistemi

1.2 Temel Elektriksel Büyüklükler

1.3 Devre Elemanları

1.4 Akım ve Gerilimin Zamana Göre Değişimleri

1.5 Değişkenlerin Gösterimi (Semboller/Konvansiyonlar)

Bölüm 2: DİRENÇ DEVRELERİ

2.1 Ohm Yasası ve Güç

2.2 Dal, Düğüm, Göz ve Çevre Kavramları

2.4 Elemanların Seri ve Paralel Bağlantıları

Bölüm 3: DÜĞÜM VE ÇEVRE ANALİZİ TEKNİKLERİ

Bölüm 4. Diğer analiz teknikleri

Bölüm 5. Kondansatör ve İndüktans

Bölüm 6. R-L, R-C, RLC geçici rejim

Bölüm 7. AA Sinüzoidal Kalıcı Durum

Bölüm 8. AA Güç ve Enerji

Bölüm 9. Transformatörler

Hiç yorum yok:

Yorum Gönder

DİĞER MAKALELER

RASTGELE YAZI

İLGİNİZİ ÇEKEBİLİR

(5) Türk Keneşi*

SIK OKUNANLAR