(The Math Doctors'tan çeviri)
Bir küme nasıl boş olabilir?
İlk önce boş olan bir şeye nasıl küme denebilir? “Küme” bir nesneler topluğu değil miydi? En azından bir nesne olması gerekir değil mi?
Bir küme nasıl boş olabilir?
Neden bir kümeye hiç elemanı olmadığı zaman boş küme denir? Boş kümenin küme olduğunun matematiksel ispatı var mıdır?
Bu bir tanım olduğu için ispatlanamaz fakat doğrulanabilir.
Bu konuda kapalılık özelliğine odaklanalım: işlemlerimizin kümeler üzerinde kapalı olmasını isteriz ki bunun anlamı işlem sonucunun yine küme içine düşmesidir.
Tanımlarımızı mümkün olduğunca yararlı olacak biçimde yapmaya çalışırız. O zaman nasıl iki sayının toplamının ve çarpımı bir sayıdır, kümeler ile yapacağımız işlemlerin sonucunun da birer küme olmasını isteriz. Peki, bir ayrık (ortak elemanı olmayan) küme çiftinin kesişimini alırsak ne olur? Sonuç boş kümedir, doğru mu? Eğer bunu bir küme olarak adlandırmasaydık o zaman kesişim işleminin sonucu bir küme olmayacaktı.
Bu, matematik yapmanın tipik bir yoludur. Bir takım doğal tanımlar yaparız (söz gelimi, kümenin bir nesneler topluluğu olarak düşünülmesi) ve bunun ile çalışırız; nihayet yeni matematik branşımızın düzgün çalışması için tanımlarımızı rafineleştirmemiz veya ekstrem durumları açıklığa kavuşturmamız gerektiğini anlarız. Boş kümenin küme olduğunu "ispat"layamayız çünkü onu tanımlıyoruz; fakat bunun enteresan matematikler üreten yararlı ve tutarlı bir tanım olduğunu gösterebiliriz. Evet, öyle yapar!
Aşağıda aynı sorunun başka bir versiyonu bulunuyor:
Kümenin tanımı ve boş kümenin bu tanımın içinde nasıl yer bulduğu
Kümenin tanımı "iyi tanımlı nesneler topluluğu"dur. Ne zaman bu konuyu öğretsem, öğrencilerimin boş küme konusunda kafası karışır. Çünkü onlar her topluluğun elemana sahip olması gerektiğini düşünürler. Onlara topluluğun boş olabileceğini söylerim, ama yine de tatmin olmazlar. Onlara tanımın boş topluluğa izin verdiğini nasıl anlatacağım?
Uzun ama okumaya değer bir çözüm olarak Doktor Tom önce matematikçilerin kümeyi formel olarak böyle tanımlamadığını belirterek Aksiyomatik Kümeler Teorisini anlattı. Daha sonra öğrencilere küme fikrinin enformel bir şekilde nasıl verilebileceğinden bahsetti:
Öğrencilerime kümenin bir kutu gibi olduğunu ve içinde bir nesne bulunmasının zorunlu olmadığını söylerim. Dolayısıyla {1,2,3} kümesi belli üç sayıyı içeren bir kutudur. Boş küme basitçe boş kutudur.
Bu, boş kümeyi daha doğal hissetmemizi sağlayan bir düşünme biçimidir.
Boş küme nasıl her kümenin alt kümesi olabilir?
Boş kümenin biricik olduğunu varsayalım. Bunun biricik boş kümenin her kümenin alt kümesi olmasıyla ne ilgisi var?
Boş küme bir alt küme midir?
Boş küme her kümenin alt kümesidir, doğru mu? Aşağıdaki örnek nasıl kanıtlanabilir?
S örnek uzayının için herhangi W olayı için, boş kümenin W alt kümesinin bir alt kümesi olduğu nasıl kanıtlanabilir?
Burada Anabelle olasılık bağlamında soruyor (bir ‘olay’ın bir sonuçlar kümesi olduğunu göz önünde bulunduruyor), fakat çözümü genelde kümelere başvuruyor. Bunu bir değil üç yolla düşündüm:
Verilmiş bir kümenin alt kümesi, basitçe öyle bir kümedir ki o kümenin her elemanı diğer kümede yer alır. Boş kümenin hiç elemanı olmadığından bütün elemanları diğer kümede yer alır! Garip görünebilir ama mantık böyle çalışır.
İkinci yol olarak, eğer A kümesinin bir elemanı B kümesinde yer almıyor ise o zaman A, B’nin bir alt kümesi değildir. Boş küme, hiç elemanı olmadığından ve bu ‘hiç eleman’ verilmiş kümede yer almadığından, alt küme değildir diyemeyiz. Yani alt kümedir deriz.
Bir alt küme seçmek için, her bir elemanı göz önünde bulundurup o elemanı alıp almamaya karar vermeliyiz. Eğer her elemana “evet” dersek, kümenin kendisini; her elemana ‘hayır’ dersek boş kümeyi almış oluruz. Bu durumu alt küme tanımından dışlayabiliriz, fakat dışlamazsak birçok şey daha kolay olacaktır. Teoremleri ifade edersek hiçbir özel durumla başa çıkmak zorunda kalmayız.
İlk çözüm matematikçilerin "tüm" hiçbir şey olduğunda "tüm"ü nasıl düşündükleri ile ilgilidir; aşağıda bu fikri (içi boş gerçek olarak adlandıracağız) eşeleyeceğiz, size saçma geldiyse okumaya devam edin!
İkinci çözüm birincinin gerçeklenmesi oluyor. Eğer perspektifimizi etrafımıza çevirir ve bir şeyi neyin alt küme değil yaptığına odaklanırsak daha mantıklı gelecektir. Bu durum daha önce tartıştığımız "suçu ispat edilinceye dek masum" fikrine de uygundur: eğer bir kanıt yoksa alt küme de yoktur.
Üçüncü çözüm, birinci soruya yukarıda verdiğim çözüme benziyor: Alt kümeyi oradaki gibi tanımlarsak diğer şeyler başka tanımlara nazaran daha iyi çalışır. Spesifik olarak, alt kümeyi, elemanları alıp almayacağımızı bir checklist'e işaretleme olarak tanımladık. Buna göre her elemanı işaretlersek kümenin hepsini, hiçbir elemanı işaretlemezsek boş kümeyi alıyoruz. Bu yaklaşım birçok teoremi kolay ifade edilebilir kılıyor, çünkü tutarlı.
Şaşırtıcı matematiksel fikirlerden hoşlanan bazıları şimdi biraz b*kunu çıkaracaklar. Onlar her kümenin alt kümesi olan bir tek boş küme olduğunu gösterirler; onlara göre Antarktika’daki filler kümesi ile hayatta olan tiranozorlar kümesi hep aynı kümedir. 2015’te bir yetişkin bize yazmış, böyle bir durumda gerçekten iki farklı evrensel kümenin göz önünde bulundurulduğunu göstererek bu konuyu sormuştu. Kümelerle işlem yaptığınızda, spesifik bir evrende çalışmalısınız yoksa bir takım yanılgılara düşebilirsiniz. Dolayısıyla Amit’e de dediğim gibi “onlar muhtemelen tanımların farklı evrenleri kastettiği gerçeğini göz ardı ediyorlar, dolayısıyla eğlenceli matematik yapmak uğruna kümelerin kendine has kurallarını ihlal ediyorlar. Tek bir evrende olmak üzere yalnız ve yalnız bir boş küme olduğunu göstermek doğrudur, fakat bunların yaptığı illüstrasyon b*kunu çıkarmaktır.”
İçi boş gerçeklik
Şimdi içi boş gerçeklik fikrine odaklanalım. Bir kümeden diğer kümeye fonksiyonlarla ilgili olan aşağıdaki soru daha çok ileri matematiğe yönelik; alıntı yaptığım çözümün adımları konusunda bir şey bilmek zorunda değilsiniz. Soru:
İçi boş olaylar, boş kümeler ve boş fonksiyonlar
Şu örnekte olduğu gibi içi boş durumları anlamakta güçlük çekiyorum: Eğer A bir boş küme ve B de boş olmayan bir alt küme ise o zaman,
(i) f:A->B olacak biçimde bir fonksiyon vardır o da boş fonksiyondur, (ii) f:B->A olacak biçimde hiçbir fonksiyon yoktur.
Bir boş küme hiç elemanı olmayan bir kümedir peki boş fonksiyon nedir? Boş kümeden boş olmayan kümeye fonksiyon var (var ama nasıl?) ancak bunun tersi doğru değil.
A ve B boş olmayan küme olduğunda AxB‘nin sezgiler(im)e aykırı olmamasına alışkınım. Fakat A boş, B boş olmayan olduğunda AxB boş olmayan ve BxA boş mu oluyor?
Burada fonksiyonlarla ilgili spesifik soruya çözüm aramayacağız, ama Doktor Jacques çözümünü iki adıma ayırıyor. İlk adım “boş kümeye ilişkin mantıksal önermeler” ile ilgili ve bu bizim konumuz:
A kümesinin elemanlarına ilişkin özelliği göz önünde bulundurarak başlayalım.
S(x), x nesnesine ilişkin bir özellik olsun (mantıksal bir önerme): özel bir x nesnesine bağlı olarak, S(x) ya doğrudur ya da yanlıştır.
S(x)’in A’nın her elemanı için doğru olduğunu iddia ederek, A kümesine ilişkin olarak bir S(A) özelliği üretebiliriz:
S(A)::=”A’da bulunan her x için S(x) doğrudur”
Söz gelimi, x bir topu temsil etsin ve S(x) de “x kırmızıdır” özelliği olsun. Şimdi eğer A bir top torbası ise o zaman S(A):
“A’nın içindeki her x topu için, x topu kırmızıdır”
anlamına gelir. Daha basit bir söyleyişle,
“A’daki bütün toplar kırmızıdır.”
Şimdi sorun, A boş olduğunda bu önermenin anlamının ne olacağıdır.
S(A), ancak içinde kırmızı olmayan bir top bulursak yanlış olacaktır. Eğer A boş ise, o zaman önerme imkânsızdır, dolayısıyla S(A) yanlış olamaz ve buradan S(A)’nın doğru olduğu sonucunu elde ederiz-eğer çanta boş ise o zaman içindeki bütün toplar kırmızıdır (her ne kadar içinde hiç top olmasa da). Aynı zamanda çantadaki bütün topların siyah olduğunun da doğru olduğunu göz önünde bulundurunuz-eğer çanta boş ise burada hiçbir çelişki yoktur.
Daha somut olarak, eğer S(A) özelliği,
A’daki her x için, S(x) doğrudur
formunda ise o zaman, A boş olduğunda S(A) doğrudur-bu aynı zamanda S(x)’in özel formundan da bağımsızdır.
Bu durumu başka bir yolla da gösterebiliriz-S(A) özelliği, A, S(X)’i gerçekleyen nesneler kümesinin bir alt kümesidir anlamına gelir (vurgular bana ait/Özer). Şimdi boş küme herhangi bir kümenin alt kümesidir, dolayısıyla eğer A boş ise o zaman A gerçekten de nesneler kümesinin S(x)’i gerçekleyen bir alt kümesidir ve s(A) doğrudur.
Bunlarla ilintili çeşitli fikirler var: “her x elemanıdır A için” (evrensel niceleyici), “eğer x, A’nın elemanı ise”ye; ve aynı zamanda “A kümesi, …nin alt kümesidir”e denktir. Daha önce tartışmış olduğum “koşul yanlış ise koşullu önerme neden doğrudur?” konusunda olduğu gibi, benzer bir gerekçelendirme A’da hiç x bulunmaması durumuna uygulanabilir.
Bu çözümden kısa süre önce Doktor Jacques bağıntının özelliklerini kanıtlarken şu soruyu yanıtlamıştı:
Bağıntının özellikleri
Soru girmek istemediğim bir konuya ilişkin olsa da, Doktor öğrenciyi içi boş gerçeklikle ilgili bazı özel durumlara hazırlamakla işe başlıyor:
Öncelikle matematiksel mantığın bazı konularını özellikle boş kümeye ilişkin önermeleri netleştirmeliyiz diye düşünüyorum.
“Eğer P ise o zaman Q’dir” veya “P->Q” dediğimizde basitçe P yanlıştır veya Q (veya her ikisi de) doğrudur demektir. Bunun bazı şaşırtıcı sonuçları vardır (siz onlara alışıncaya kadar). Söz gelimi:
“Eğer 6 asal ise o zaman 11 negatiftir”
doğru bir önermedir, çünkü eğer bileşeni yanlıştır.
P->Q gibi bir önerme P ile Q arasında herhangi bir mantıksal bir bağlantı olduğunu söylemez.
Bir kümenin elemanlarına ilişkin önermeleri göz önüne alınız. Şöyle bir önermemiz olduğunu düşünün: P(x), x’in bir özelliği olmak üzere:
“Her x elemanıdır S için, P(x)”
Bunun dengi,
x elemanıdır A -> P(x)
S boş küme olduğunda ne olur? Bu durumda, sol bileşen (“x elemanıdır S”) yanlış olur ve dolayısıyla önermenin tamamı doğru olur (P(x)’in anlamı ne olursa olsun!). Artık boş kümeye uygulandığında her özelliğin doğru olduğunu söyleyebiliriz. Söz gelimi, kuşları içermeyen bir evren için:
“Bütün kuşlar yeşildir”
“Bütün kuşlar kırmızıdır”
önermelerinin her ikisi de doğrudur ve bu bir çelişkiye yol açmaz.
Bunu başka bir örnekle açıklayalım. İçinde kırmızı ve mavi toplar olan torbaları incelediğinizi varsayalım ve verilmiş bir torbadaki topların kırmızı olup olmadığını belirmeye yönelik bir prosedür geliştirmek istiyorsunuz. Yani verilmiş bir B torbası için,
“B’deki her x için, x kırmızıdır”
ın doğru olup olmadığına karar vermek istiyorsunuz. Aşağıdaki gibi bir prosedürü uygulayabilirsiniz:
- Eğer torbada hiç top yoksa geri dön ve DOĞRU’ya git (yani önermenin doğru olduğunu ilan et)
- Torbadan bir top çek
- Eğer top kırmızı değilse geri dön ve YANLIŞ’a git
- Aksi takdirde (1)’e dön
Şimdi görebiliriz ki özel olarak bir çanta boş ise prosedür daha (1) adımında bitiyor ve önermenin doğru olduğunu ilan ediyoruz. Görülüyor ki bu yorumlama doğrudur.
Diğer taraftan (bu önermeyi burada kullanmayacağız),
“P(x) olacak biçimde bazı x elemanıdır S vardır”
gibi bir önerme,
“(Bazı x elemanıdır S) VE P(X)”
anlamına geliyor ve eğer S boş küme olursa bu önerme yanlıştır (P(x) ne olursa olsun), çünkü VE önermesinin ilk bileşeni yanlış.
Özetlersek:
- ”Eğer P ise o zaman Q” veya “P->Q önermesi, ”P yanlıştır veya Q doğrudur” anlamına gelir (hepsi bu).
- S boş küme olduğunda “Her x elemanıdır S için, P(x)” önermesi her zaman doğrudur.
- S boş küme ise “S’nin P(x) olacak biçimde bazı elemanları vardır” önermesi her zaman yanlıştır.
Bu ifadeler söylediğimiz şeylerin çoğunu bağlıyor.
Yazının orijinali için: https://www.themathdoctors.org/empty-sets-and-vacuous-truth/
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder